Question

Uma pessoa tem um investimento cujo montante ao longo do tempo t, em anos, é dado por M(t) = 2500 . (1,5) t/2.

Sabendo que o seu investimento inicial é de 2500 reais, em quantos anos o capital inicial terá aumentado 125%?

A) 1,0

B) 2,0

C) 2,5

D) 4,0

E) 5,0

Answer 1

Deseja-se saber o valor de T (tempo em anos) quando um dado valor inicial (2500) tem um aumento de 125%

Ou melhor, qual o valor de T quando temos 125% de 2500???

Inicialmente obteremos qual o novo valor do capital. Para tal, regra de 3

     $                     %

  2500  ----------  100

     X      ----------  125

X = 3125

Logo o capital após T anos será de 2500 + 3125 = 5625. Para acharmos T....

$\large{\boldsymbol{M(T)=2500\cdot (1,5)^{\frac{T}{2}}}}$

onde M(T) = 5625

$\large{\boldsymbol{5625=2500\cdot (1,5)^{\frac{T}{2}}}}$

$\large{\boldsymbol{\frac{5625}{2500}=(1,5)^{\frac{T}{2}}}}$

fatorando 5625 obtemos 3² . 5⁴

fatorando 2500 obtemos 2² . 5⁴

$\large{\boldsymbol{\frac{3^2.5^4}{2^2.5^4}=(1,5)^{\frac{T}{2}}}}$

cortando os 5⁴

$\large{\boldsymbol{\frac{3^2}{2^2}=(1,5)^{\frac{T}{2}}}}$

sabemos que  $\large{\boldsymbol{A^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{A^m}}}$

logo

$\large{\boldsymbol{\frac{3^2}{2^2}=\sqrt{1,5^t}}}$

elevemos ambos membros ao quadrado para eliminarmos a raiz do 2º membro

$\large{\boldsymbol{\left (\frac{3^2}{2^2}  \right )^2=(\sqrt{1,5^t})^2}}$

$\large{\boldsymbol{\frac{3^4}{2^4}=1,5^t}}$

sabemos que 1,5 = 3÷2 = 3/2

$\large{\boldsymbol{\frac{3^4}{2^4}=\left (\frac{3}{2}  \right )^t}}$

das propriedades da potenciacao, a²/b² = (a/b)²

$\large{\boldsymbol{\left (\frac{3}{2}  \right )^4=\left (\frac{3}{2}  \right )^t}}$

Como as bases sao iguais em ambos membros, logo trabalhamos apenas com os expoentes

4 = t

Ou seja, em 4 anos teremos um aumento de 125% do valor inicial (2500) aplicado