Question

Seja o número complexo z = i + $i^{2}$ + $i^{3}$ + ... + $i^{1995}$, em que i= $\sqrt{-1}$ . Dessa forma z . conjugado de z, vale:

A)-1+i B)-i C)-1 D)i E) 1

Answer 1

Note que:

$i^2 = \sqrt{-1}^2 = -1$

$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

$i^5 = i$

Quando somarmos os quatro primeiros termos:

$i+i^2+i^3+i^4 = i-1-i+1 = 0$

Perceba que essa soma se anula a cada quatro termos. Desta forma, para saber quanto vale o conjugado de z, basta saber qual a posição do último termo em relação aos múltiplos de 4. Porque, até expoente 4, 8, 12, 16, ... vai sempre dar zero.

O último expoente de z é 1995. O último múltiplo de 4 é o 1992. Então, até 1992 a soma é zero. O que sobra é:

$z = i^{1993}+i^{1994}+i^{1995}$

Mas como os termos se repetem dada a sequência: i, -1, -i,+1. O que temos é o equivalente a:

$z = i^{1}+i^{2}+i^{3}$

Substituindo:

$z = i+(-1)+(-i)$

Os termos complexos se anulam, restando apenas:

$\boxed{z=-1}$

O conjugado de z será -1 também, já que no conjugado apenas os termos complexos invertem o sinal. E o z é real.

Logo, alternativa C