Question

O lucro de uma empresa é dado pela lei L(x) = -x² + 8x – 7, em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em milhares de reais). a) Determine os valores de x para os quais o lucro é positivo. b) Calcule a quantidade que se deve vender para se obter lucro máximo. c) Determine o lucro máximo

Answer 1

Resposta:

a) { x ∈ R / $1<x<7$ }

b) A quantidade que se deve vender é 4 reais.

c) O lucro máximo é 9 reais.

Explicação passo-a-passo:

Para o lucro ser positivo:

$L(x) > 0$

Ao calcular bhaskara e encontrar as raízes:

$x = \frac{-b+-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}\\x = \frac{-8+-\sqrt{8^2-4*(-1)*(-7)} }{2(-1)}\\x = \frac{-8+-6}{-2}\\x' = \frac{-8-6}{-2}=\frac{-14}{-2}=7\\x''= \frac{-8+6}{-2}=\frac{-2}{-2}=1$

As raízes são os pontos em que a função "corta" o eixo X, e o número que multiplica o x² na função L(x) indica a concavidade da função, como esse número é negativo (-1), sabemos que a concavidade é virada para baixo.

Logo, todos os números para X que estão entre 1 e 7 $(1\<x<7)$ são positivos, indicando que o lucro também será positivo.

a) { x ∈ R / $1<x<7$ }

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O valor máximo de uma função pode ser descrito pelos x vértice e y vértice.

O x vértice representa a quantidade que se dever obter para alcançar o maior y possível.

$x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{-2}\\x_v=4$

b) A quantidade que se deve vender é 4 reais.

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O y vértice representa, por sua vez, o lucro máximo atingido.

$y_v=\frac{-delta}{4a}=\frac{-36}{-4}\\y_v=9$

c) O lucro máximo é 9 reais.

Answer 2

No intervalo 1 ≤ x ≤ 7 a função do lucro da empresa possui valores positivos.  O ponto x onde a quantidade de vendas é máximo é x = 4. O lucro máximo da empresa é de 9 milhares de reais.

Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é uma equação do segundo grau. Uma equação do segundo grau ax² + bx + c é uma equação polinomial de grau 2, com o formato de concavidade (caso a seja maior que 0, a função possui o formato de U).

Para encontrarmos as raízes de uma função do segundo grau, que são os valores de x para onde a função possui valor 0, devemos utilizar a fórmula de Bhaskara.

Assim, para determinar os valores de x para os quais o lucro da empresa é positivo, devemos encontrar as raízes da lei do lucro da empresa. Assim, sabendo que a função possui o formato ∩ (pois o coeficiente a da função é -1), saberemos que os valores de x entre as raízes determinam valores de lucro positivo para a empresa.

Aplicando os coeficientes da função L(x) = -x² + 8x – 7 na fórmula de Bhaskara, com a = -1, b = 8, c = 7, temos:

                                          $raiz_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\raiz_{1,2} = \frac{-8\pm\sqrt{8^2 - 4*-1*-7}}{-2}\\raiz_{1,2} = \frac{-8\pm\sqrt{64 - 28}}{-2}\\raiz_{1,2} = \frac{-8\pm\sqrt{36}}{-2}\\raiz_{1,2} = \frac{-8\pm6}{-2}\\\\raiz_{1} = \frac{-8+6}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\\\\raiz_{2} = \frac{-8-6}{-2} = \frac{-14}{-2} = 7$

Assim, para x = 1 e x = 7, a função do lucro da empresa possui valor 0. Com isso, no intervalo 1 < x < 7 a função do lucro da empresa possui valores positivos.

Para encontrarmos o ponto de lucro máximo, devemos utilizar a fórmula Xv = -b/2a, onde a = -1 e b = 8. Assim, temos que o ponto x onde a quantidade de vendas é máximo é Xv = -8/2*-1 = -8/-2 = 4.

Para encontrarmos o lucro máximo, devemos substituir o ponto x de lucro máximo na função do lucro. Assim, temos que o lucro máximo é L(4) = -4² + 8*4 – 7 = -16 + 32 - 7 = 9 milhares reais.

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