Question

Matriz inversa

(2 3)
(-1 0)

Answer 1

Resposta:

Primeiramente, precisamos verificar se há matriz inversa para a matriz dada. Calcularemos seu determinante. Caso o resultado seja igual a zero, a matriz não admite uma inversa.

Det(A) = $\begin{vmatrix}</p><p> 2 & 3 \\ - 1 & 0</p><p>\end{vmatrix} = 2.0 - 3.( - 1) = 0 + 3 = 3$

Como o determinante tem um resultado diferente de zero, isso quer dizer que a matriz dada tem uma matriz inversa.

Calculamos a matriz inversa através de:

$A. {A}^{ - 1} = I_2$

Onde:

A = Matriz dada;

$A^{-1}=$ Matriz inversa, onde indicaremos por: $\begin{bmatrix}</p><p> a & b \\ c & d</p><p>\end{bmatrix}$

$I_2$ = Matriz identidade de ordem 2: $\begin{bmatrix}</p><p> 1 & 0 \\ 0 & 1</p><p>\end{bmatrix}$

Dessa forma, teremos:

$\begin{bmatrix}</p><p> 2 & 3 \\ - 1 & 0</p><p>\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}</p><p> a & b \\ c & d</p><p>\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}</p><p> 1 & 0 \\ 0 & 1</p><p>\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}</p><p> 2a + 3c & 2b + 3d \\ - a & - b</p><p>\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}</p><p> 1 & 0 \\ 0 & 1</p><p>\end{bmatrix}$

Igualando os elementos da segunda linha entre as duas matrizes, temos:

$- a = 0 \\ a = 0 \\ e \\ - b = 1 \\ b = - 1$

Com os valores de a e b conhecidos, podemos, agora, substitui-los nos elementos da primeira linha e fazer a igualdade com a identidade.

$2.0 + 3c = 1 \\ 0 + 3c = 1 \\ 3c = 1 \\ c = \frac{1}{3}$

Finalmente encontraremos o valor de d:

$2.( - 1) + 3d = 0 \\ - 2 + 3d = 0 \\ 3d = 2 \\ d = \frac{2}{3}$

Com os quatro valores conhecidos, agora podemos montar a inversa de A:

${A}^{ - 1} = \begin{bmatrix}</p><p> 0 & - 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}</p><p>\end{bmatrix}$