Question

Usando os algarismos 0,1,2,3,4,5,6 e 7 quantos números:
A) ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar?
B) de 5 algarismos distintos múltiplo de 5?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Temos os seguintes números:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7

Vamos resolver as alternativas pelo Princípio Fundamental da Contagem:

Letra A

Temos que formar números com 4 Algarismos.

É importante ressaltar que, para o primeiro algarismo, não podemos utilizar 0, pois isso modificará a quantidade de algarismos. Portanto para o primeiro número teremos apenas 6 possibilidades:

_ _ _ _

6 × _ × _ × _

Para o segundo, já conseguiremos utilizar o zero, e teremos +1 possibilidade. Porém como já utilizamos uma no primeiro, -1 possibilidade também. Enfim, teremos 6 possibilidades para o segundo:

6 × 6 × _ × _

Por fim, como já utilizamos dois números de 7, teremos para o terceiro algarismo 5 possibilidades. E por fim, para o quarto teremos 4:

6 × 6 × 5 × 4

Total de possibilidades de algarismos: 720.

Letra B

Algarismos: 1,2,3,4,5,6,7

Analisando as restrições, vemos que o número deverá ser múltiplo de 5, devendo terminar em 0 ou em 5 (2 possibilidades para o último algarismo):

_ × _ × _ × _ × 2

Teremos que fazer duas contas separadas aqui, visto que temos duas ocasiões possíveis que exigem raciocínios diferentes:

Caso 1: O número termina em 0

_ × _ × _× _× _

Como já afirmamos que termina em 0, só temos 1 possibilidade para o último termo:

_ × _ × _× _ × 1

E como já utilizamos o zero, teremos 6 possibilidades de algarismos para o primeiro, cinco para o segundo, e assim vai:

6 × 5 × 4 × 3 × 1 = 360

Caso 2: O número termina em 5

Caso o número termine em 5, teremos apenas 1 possibilidade para o último também.

PORÉM, o número não poderá começar com 0 (pelo que já falamos anteriormente) e nem com 5 (Pois este já foi utilizado. Sendo assim teremos apenas 5 possibilidades para o primeiro e 1 para o último:

5 × _ × _ ×_ × 1

Para o segundo, já poderemos utilizar o zero, e teremos +1 possibilidade além dos 4 números que sobraram:

5 × 5 × 4 × 3 × 1 = 300

Agora somamos todas as possibilidades:

300 + 360 = 660 possibilidades de números

Temos 660 possibilidades de números múltiplos de 5.