Question

1ª questão: [2,0 pontos]
a) Encontre uma PA infinita cujos termos são sempre números irracionais.
b) Encontre uma PG infinita cujos termos alternam entre um número racional seguido de dois números irracionais.
c) Encontre uma PG de termos positivos, não constante, cujos 50 primeiros termos sejam menores do que 10.
d) Encontre uma PA infinita tal que somente os termos de ordem 5 até 10 estejam entre 1 e 1,5.

Answer 1

Podemos facilmente encontrar estas P.A's e P.G.'s, simplesmente utilizando definições de sequências, e raramente utilizar formulas, vejamos:

a) Encontre uma PA infinita cujos termos são sempre números irracionais.

Está é provavelmente a mais simples, basta escolhermos o primeiro termo desta P.A. sendo √2 e a razão sendo √2, pois desta forma não importa quantas vezes vocÊ some esta razão, um multiplo de um irracional é sempre um irracional. Então:

Primeiro termo: √2.

Razão: √2.

b) Encontre uma PG infinita cujos termos alternam entre um número racional seguido de dois números irracionais.

Neste caso também é simples, vamos supor o primeiro termo sendo 1, que assim já começamos com um racional e vamos escolher a razão sendo ∛2, pois assim, os proximos termo vão ser 1 vezes esta raíz, e 1 vezes esta raíz ao quadrado, que ainda é uma raiz, mas quando chegar o terceiro termo, teremo esta raíz ao cubo, e uma raiz cubica elevado ao cubo corta a raíz, se tornando assim um número racional novamente. Então:

Primeiro termo: 1.

Razão: ∛2.

c) Encontre uma PG de termos positivos, não constante, cujos 50 primeiros termos sejam menores do que 10.

Para esta vamos usar o termo geral de uma PG, considerando que o termo de ordem 50 deve ser 10, e o primeiro termo vamos escolher sendo 1 para facilitar calculos:

$A_n=A_1.q^{n-1}$

$10=1.q^{50-1}$

$10=q^{49}$

$10^{\frac{1}{49}}=q$

$q=1,048$

Assim temos que:

Primeiro termo: 1

Razão: 1,048

d) Encontre uma PA infinita tal que somente os termos de ordem 5 até 10 estejam entre 1 e 1,5.

Note que do 5 termo até o 10, temos que adicionar a razão 5 vezes, ou seja, vamos escolher o quinto termo sendo 1 e o decimo sendo 1,5, se dividirmo esta distancia em 5 partes, temos que a razão é 0,1.

Tendo a razão e o quinto termo, basta subtrair a razão 4 vezes e teremos o primeiro termo, que será 0,6. Então:

Primeiro termo: 0,6.

Razão: 0,1.