Question

Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura pode ser descrita pela expressão N left parenthesis t right parenthesis equals N subscript 0.2 to the power of k t end exponent, sendo N subscript 0 a população no início do tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a

Answer 1

A constante k tem valor igual a ${k}=0,086135)$

A ação do defensivo estudado é descrito pela fórmula

$N(t)=N_0\cdot 0,2^{kt}$

Segundo os dados de campo, após 10 dias de aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial.

Como t é o número de dias, podemos escrever que

$N(10)=\dfrac{N_0}{4}=N_0\cdot 0,2^{k10}$

Além disso, por causa das propriedades da função potencia,  sabemos que no dia zero teremos

$N(0)=N_0$ porque $0,2^{k\cdot0}=1$

Com estes dados podemos tomar um ponto

$0,2^{k10}=\dfrac{N_0}{4N_0}$

$0,2^{k10}=\dfrac{1}{4}$

E podemos encontrar o valor de k ao aplicar o logaritmo.

$Log_{0,2}(0,2^{k10})=Log_{0,2}\left(\dfrac{1}{4}\right)$

${k10}=Log_{0,2}\left(\dfrac{1}{4}\right)$ onde o log e a potencia se cancelam por que estão na mesma base

Portanto:

${k}=\dfrac{1}{10}(Log_{0,2}(1)-Log_{0,2}(4))$

${k}=\dfrac{1}{10}(0-0,86135)$

${k}=0,086135)$