Question

PRECISO URGENTEMENTE

Dada a sequência $x_{n}: [tex]x_{n}$=$(\sqrt{2} , \sqrt{2+\sqrt{2} } , \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } } , \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } } , ..., \sqrt{2+x_{n} } }$


a) Mostre, por indução, que $\sqrt{2+x_{n} } \ \textless \ 2$


b) mostre que a sequência é limitada


c) Mostre que a sequência é monótona


d) Com base nos itens anteriores, conclua que a sequência é ou não é convergente.

Answer 1

Resposta:

a) Veja que, para $P(1)$, temos:

$\sqrt{2} < 2 \Leftrightarrow 2 < 4$

O que claramente é verdade.

Agora, assumindo $P(k)$ como verdadeiro, para $P(k+1)$, temos:

$\sqrt{2 + x_k} < 2 \Leftrightarrow 2 + x_n < 4 \Leftrightarrow x_n < 2$

Ou seja, P(k+1) é verdadeiro se, e somente se, P(k) é verdadeiro. Como estamos assumindo tal fato, fica provado a indução.

b) Seja $a = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}$. Veja que $a^2 = 2 + a$, daí segue que, $a = \dfrac{ -1 \pm 3}{-2}$, mas como não temos parcelas negativas, $a = 2$. Ou seja, a sequência é limitada a 2.

c) A sequência é monótona crescente pois $\sqrt{2} < \sqrt{2 + \sqrt{2}}$, já que $\sqrt{2} > 0$.

d) Toda sequência monótona e limitada é convergente.