Question

*Cálculo numérico.

Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que cada caso a raiz está no intervalo [0.5, 1].

a) X² + ln x =0

Answer 1

Resposta:

Vide abaixo

Explicação passo-a-passo:

O Método de Newton–Raphson pode ser utilizado para determinar essa raiz, baseado na seguinte fórmula iterativa:

xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn), com n=0, 1, 2,...

Sendo f(x)= x^2 + ln x, temos que f'(x)= 2x + 1x

Como a raíz está no intervalo [0.5, 1], vamos iniciar x0= 0,75 (valor central do intervalo), logo:

x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)

x1 = 0,75 - f(0,75)/f'(0,75)

x1 = 0,75 - {(0,75)^2 + ln(0,75)}/{2.0,75 + 1/0,75

x1 ~ 0,653005437

Repetindo o processo, temos:

x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)

x2 = 0,653005437 - f(0,653005437)/f'(0,653005437)

x2 = 0,653005437 - {(0,653005437)^2 + ln(0,653005437)}/{2.0,653005437 + 1/0,653005437

x2= 0,65291864

Repetindo o processo, temos:

x3 = x2 - f(x2)/f'(x2)

x3 = 0,65291864 - f(0,65291864)/f'(0,65291864)

x3 = 0,65291864 - {(0,65291864)^2 + ln(0,65291864)}/{2.0,65291864 + 1/0,65291864

x3= 0,65291864

Logo, observa-se que x3=x2=0,65291864, ou seja, na terceira iteração o resultado já convergiu a um valor da raiz com precisão de 8 casas decimais.

Logo, x=0,65291864 é raiz da equação, localizada no intervalo [0.5, 1].

Para observar se há mais raízes, o ideal seria traçar um gráfico da função, e ver no gráfico se a função cruza o eixo do x em outros pontos. Pegue um valor de x próximo a esses pontos, e usando o método acima determine o valor da raiz com a precisão desejada.

Como é cálculo numérico, o ideal é usar uma calculadora, guardando na memória o valor de x obtido para ser utilizado no próximo passo iterativo, até que o resultado seja convertido para a precisão desejada.

*** Usando o Método da Bisecção:

Sendo f(x)= x^2 + ln x, então f(0,5)~ -0,443<0, e f(1)= 1>0

Se for iniciar x0= 0,75 (meio do intervalo), temos que f(0,75)~ 0,275>0.

Portanto, o novo intervalo de localização da raiz está em [0,5; 0,75], pois f(0,5)<0 e f(0,75)>0

Adotando x1=0,625 (meio do intervalo), temos que f(0,625)~ -0,0794<0, logo o novo intervalo da raiz é [0,625; 0,75]

Adotando x2=0,6875, temos que f(0,6875)~ 0,0980>0, logo o novo intervalo da raiz é [0,625; 0,6875]

Adotando x3=0,65625, temos que f(0,65625)~ 0,0095>0, logo o novo intervalo da raiz é [0,625; 0,65625]

Adotando x4=0,640625, temos que f(0,640625)~ - 0,0349<0, logo o novo intervalo da raiz é [0,640625; 0,65625]

Adotando x5=0,6484375, temos que f(0,6484375)~ - 0,0127<0, logo o novo intervalo da raiz é [0,6484375; 0,65625]

Adotando x6=0,65234375, temos que f(0,65234375)~ - 0,00163<0, logo o novo intervalo da raiz é [0,65234375; 0,65625]

...

Observa-se que na 6a. iteração chegamos que a raíz está no intervalo de ~ [0,6523...; 0,6563...], ou seja, uma precisão de 2 casas decimais. Se continuar com mais iterações, usando esse método da bisecção, chegará na mesma resposta que obtivemos pelo método anterior, onde com 3 iterações chegamos "mais rápido" com uma precisão de 8 casas decimais na raiz.

Blz?

Abs :)