Question

Calcular derivada implicita x^3-xy+y^3=1

Answer 1

Olá!

Calcular derivada implícita $x^3-xy+y^3=1$

Solução:

1) Passo: Vamos derivar ambos os lados:

$\dfrac{d}{dx}\left(x^3-xy+y^3\right)=\dfrac{d}{dx}\left(1\right)$

2) Passo: Vamos desenvolver o primeiro lado.

Então, $\dfrac{d}{dx}\left(x^3-xy+y^3\right)$

2.1 Aplicamos a regra soma/diferença$\left(f\pm g\right)'=f\:'\pm g'$ , temos:

$\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)-\dfrac{d}{dx}\left(xy\right)+\dfrac{d}{dx}\left(y^3\right)$

Separamos elas, aplicamos a regra da potência $\dfrac{d}{dx}\left(x^a\right)=a*x^{a-1}$ , para $\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)$ , vejamos:

$\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right) = 3x^{3-1} = \boxed{3x^2}$

2.2 Agora, continuando a parte do primeiro lado $\dfrac{d}{dx}\left(xy\right)$ , vamos aplicar a regra do produto $\left(f\cdot g\right)'=f\:'*g+f*g'$ , sendo f = x e g = y , temos:

$\dfrac{d}{dx}\left(xy\right) = \dfrac{d}{dx}\left(x\right)y+\dfrac{d}{dx}\left(y\right)x$

Aplicamos a regra de derivação, se $\dfrac{d}{dx}\left(x) = 1$ , temos:

$\dfrac{d}{dx}\left(xy\right) = 1*\:y+\dfrac{d}{dx}\left(y\right)x = \boxed{y+x\dfrac{d}{dx}\left(y\right)}$

2.3 Agora, continuando a outra parte do primeiro lado $\dfrac{d}{dx}\left(y^3\right)$ , vamos aplicar a regra da cadeia $\dfrac{df\left(u\right)}{dx}=\dfrac{df}{du}*\dfrac{du}{dx}$ , sendo f = u³ e u = y, temos:

$\dfrac{d}{dx}\left(y^3\right)=\dfrac{d}{du}\left(u^3\right)*\dfrac{d}{dx}\left(y\right)$

Separamos elas, aplicamos a regra da potência $\dfrac{d}{dx}\left(x^a\right)=a*x^{a-1}$ , para $\dfrac{d}{du}\left(u^3\right)$, vejamos:

$\dfrac{d}{du}\left(u^3\right) = 3u^{3-1} = \boxed{3u^2}$

Agora, temos:

$\dfrac{d}{du}\left(u^3\right)*\dfrac{d}{dx}\left(y\right)$

$3u^2*\dfrac{d}{dx}\left(y\right)$

se u = y , então:

$\boxed{3y^2\:\dfrac{d}{dx}\left(y\right)}$

2.4 Juntamos as partes encontradas do primeiro lado, vejamos:

$\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)-\dfrac{d}{dx}\left(xy\right)+\dfrac{d}{dx}\left(y^3\right)$

$3x^2-\left(y+x\dfrac{d}{dx}\left(y\right)\right)+3y^2\dfrac{d}{dx}\left(y\right)$

3) Passo: Vamos desenvolver o segundo lado.

Temos $\dfrac{d}{dx}\left(1\right)$ , pela regra da derivada de uma constante $\dfrac{d}{dx}\left(a\right)=0$ , fica assim:

$\dfrac{d}{dx}\left(1\right) = \boxed{0}$

4) Passo: Juntamos ambas as partes com suas soluções encontradas, vejamos:

$\dfrac{d}{dx}\left(x^3-xy+y^3\right)=\dfrac{d}{dx}\left(1\right)$

$3x^2-y-x\dfrac{d}{dx}\left(y\right)+3y^2\dfrac{d}{dx}\left(y\right)=0$

4.1 Temos que escrever $\dfrac{d}{dx}\left(y\right)\:como\:\:y'$ , então:

$\boxed{3x^2 - y - xy' + 3y^2y' = 0}$

5) Passo: Simplificamos e fatoramos.

$3x^2 - y - xy' + 3y^2y' = 0$

passamos para o segundo termo 3x² - y , vejamos:

$- xy' + 3y^2y' = - 3x^2 + y$

fatoramos o primeiro termo

$y'\left(-x+3y^2\right) = - 3x^2 + y$

dividimos ambos os termos por -x+3y² , vejamos:

$\dfrac{y'\left(-x+3y^2\right)}{-x+3y^2}=-\dfrac{3x^2}{-x+3y^2}+\dfrac{y}{-x+3y^2}$

$\dfrac{y'\left(\\ -x+3y^2\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{\hspace{1.2cm}}{~}\right)}{-x+3y^2\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{\hspace{1.2cm}}{~}}=\dfrac{-3x^2+y}{-x+3y^2}$

$y'=\dfrac{-3x^2+y}{-x+3y^2}$

5.1 Temos que escrever $y' = \dfrac{d}{dx} (y)$ , então, a solução da derivada implícita é:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(y\right)=\dfrac{-3x^2+y}{-x+3y^2}}}\:\:\:\:\:\:\bf\green{\checkmark}$

_________________________

$\bf\red{Espero\:ter\:ajudado, sauda\c{c}\~oes ...\:Dexteright02!}\:\:\ddot{\smile}$

Answer 2

Vamos derivar em relação a x os dois membros

$\frac{d}{dx} ({x}^{3} ) - \frac{d}{dx} (x.y) + \frac{d}{dx} ( {y}^{3} ) = 0$

Vamos resolver cada derivada separadamente.

$\frac{d}{dx}({x}^{3}) = 3 {x}^{3 - 1} = 3 {x}^{2}$

Na próxima derivada usaremos a regra do produto e consequentemente faremos o jogo de sinal para evitar erros. Se u e v são duas funções diferenciáveis então

(u.v)'=u'. v+u. v'

Assim teremos

$\frac{d}{dx}(x.y) = \frac{d}{dx}(x).y + x. \frac{d}{dx}y \\ \frac{d}{dx}(x.y) = y + x \frac{dy}{dx}$

Fazendo o jogo de sinal teremos

$- \frac{d}{dx}(x.y) = - y - x \frac{dy}{dx}$

Vamos fazer a terceira derivada

$\frac{d}{dx}({y}^{3})= 3 {y}^{2} \frac{dy}{dx}$

Vamos substituir todo mundo

$\frac{d}{dx} ({x}^{3} ) - \frac{d}{dx} (x.y) + \frac{d}{dx} ( {y}^{3} ) = 0 \\ 3 {x}^{2} - y - x \frac{dy}{dx} + 3 {y}^{2} \frac{dy}{dx} = 0$

Vamos deixar do lado esquerdo as expressões que contem dy/dx e no outro lado as demais expressões.

$- x \frac{dy}{dx} + 3 {y}^{2} \frac{dy}{dx} = - 3 {x}^{2} + y$

Vamos colocar dy/dx em evidência daí

$\frac{dy}{dx}( - x + 3 {y}^{2}) = - 3 {x}^{2} + y$

Isolando dy/dx teremos que

$\frac{dy}{dx} = \frac{ - 3 {x}^{2} + y }{ - x + 3 {y}^{2} }$

Esta é a resposta

Espero ter ajudado bons estudos !