Question

$\\ \lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{2^x+3^x}$

Answer 1

$\lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{2^x+3^x}$

multiplicando pelo seu conjugado, teremos:

$\lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt[x]{ {2}^{2x} - {3}^{2x} } }{ \sqrt[x]{ {2}^{x} - {3}^{x} } }$

podemos reescrever este limite da seguinte forma:

$( \lim_{x \to \infty} { (\frac{ {2}^{2x} - {3}^{2x} }{ {2}^{x} - {3}^{x} })) }^{ \frac{1}{x} }$

aplicando a Regra de l'Hôpital, teremos:

$( \lim_{x \to \infty} { (\frac{2( ln( {4}^{2x} ) - ln( {27}^{2x} )) }{ ln({4}^{x}) - ln({27}^{x} ) })) }^{ \frac{1}{x} } =$

pelas propriedades de logaritmo, temos:

$( \lim_{x \to \infty} { (\frac{ 4x ln( \frac{4}{27} ) }{ x ln( \frac{4}{27} ) })) }^{ \frac{1}{x} } = \\ \lim_{x \to \infty} {(4)}^{ \frac{1}{x} } = \\ \\ {4}^{0} = 1$

ou seja:

$\lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{2^x+3^x} = 1$