Question

Dado o complexo Z= 2 - 2i, calcule Z^6
resposta: Z= 512 (Cos90 + isen 90), mas preciso do cálculo!​

Answer 1

Primeiramente, coloca Z na forma trigonométrica.

$z = |z|(co s\alpha + isen \alpha )$

$\cos( \alpha ) = \frac{2}{ |z| } = \frac{2}{2 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin( \alpha ) = \frac{ - 2}{2 \sqrt{2} } = \frac{ - \sqrt{2} }{2}$

Logo, Alpha mede

$\alpha = \frac{7\pi}{4}$

$z = 2 \sqrt{2}.( \cos( \frac{7\pi}{4} ) + i\sin( \frac{7\pi}{4} ) \\ {z}^{6} = (2 \sqrt{2}) ^{6}( \cos( \frac{7\pi}{4}.6 ) + i\sin( \frac{7\pi}{4}.6 ) = 512.( \cos( \frac{21\pi}{2} + i\sin( \frac{21\pi}{2} ) )) = 512.( \cos( \frac{\pi}{2} ) + i\sin( \frac{\pi}{2} )) \\ {z}^{6} = 512( \cos(90) + \sin(90) )$

Answer 2

Resposta:

Podemos aplicar a fórmula de De Moivre para resolver esta questão. Veja abaixo:

Fórmula:

${z}^{n} = { |z| }^{n} .( \cos(n. \alpha ) + i. \sin(n. \alpha ) )$

Resolvendo, fica:

$z = 2 - 2i$

Cálculo do módulo de Z:

$|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } \\ |z| = \sqrt{ {2}^{2} + {( - 2)}^{2} } \\ |z| = \sqrt{4 + 4} \\ |z| = \sqrt{8} \\ |z| = 2 \sqrt{2}$

Obtenção do argumento:

$\cos( \alpha ) = \frac{a}{ |z| } = \frac{2}{2 \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin( \alpha ) = \frac{b}{ |z| } = - \frac{2}{2 \sqrt{2} } = - \frac{1}{ \sqrt{2} } = - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Portanto, o arco que corresponde à situação acima é o de 315°, ou seja, 7π/4.

Retomando à fórmula, temos:

${z}^{n} = { |z| }^{n} .( \cos(n. \alpha ) + i. \sin(n. \alpha ) ) \\ {z}^{6} = {(2 \sqrt{2} )}^{6} .( \cos(6. \frac{7\pi}{4} ) + i. \sin(6. \frac{7\pi}{4} ) ) \\ {z}^{6} = 64.8.( \cos( \frac{21\pi}{2} ) + i. \sin( \frac{21\pi}{2} ) ) \\ {z}^{6} = 512.( \cos( \frac{\pi}{2} ) + i. \sin( \frac{\pi}{2} ) )$