Question

Na figura a seguir, o triângulo ABC tem lados AB=6cm, AC=8cm e BC=10cm. Além disso, M é ponto médio de BC¯ e AMDE é um quadrado com o lado MD¯ intersectando AC¯ no ponto F.

(a) Descreva quais resultados ou argumentos podem ser utilizados para se concluir que:

1) o triângulo ABC é retângulo com ângulo reto no vértice A;

2) o triângulo BMA é isósceles de base AB¯;

3) o triângulo CMA é isósceles de base CA¯.

(b) Determine a área do quadrilátero AFDE

Answer 1

a) 1) o triângulo ABC é retângulo com ângulo reto no vértice A;

Argumento: O lado BC é a hipotenusa, pois a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Veja:

BC² = AB² + AC²

10² = 6² + 8²

100 = 36 + 64

100 = 100  (está provado)

2) o triângulo BMA é isósceles de base AB;

Argumento: Em um triângulo retângulo, a mediana que parte do ângulo reto divide a hipotenusa em dois segmentos de reta, do mesmo tamanho da mediana. Logo: AM = BM.

3) o triângulo CMA é isósceles de base CA.

Argumento:  Em um triângulo retângulo, a mediana que parte do ângulo reto divide a hipotenusa em dois segmentos de reta, do mesmo tamanho da mediana. Logo: AM = CM.

(b) A área do quadrilátero AFDE  é 15,625 cm².

Cálculo: BM e CM têm a metade do segmento BC. Logo:

BM = CM = BC/2

BM = CM = 10/2 = 5 cm

Essa também é a medida da mediana AM.

AM = 5 cm

Como AM é um dos lados do quadrado AMDE, temos que sua área é:

5 x 5 = 25 cm²

Agora, precisamos calcular a área do triângulo AMF.

Por semelhança de triângulos, temos:

x = 5

6     8

8.x = 6.5

8x = 30

x = 30/8

x = 3,75

Área: 5 x 3,75 = 9,375 cm²

               2

Agora, subtraímos essa área da área do quadrado.

25 - 9,375 = 15,625 cm²