Question

qual e a derivada de Y em relação a X, conforme o caso das funções abaixo:

a) y = ln(cos(∛)) b) y = x⁵ - e⁻³lnx

Answer 1

Utilizamos a regra da cadeia para achar a derivada de funções compostas

Regra da cadeia:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)}}$

"Derivamos a função de fora, repetimos a(s) de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro" -> Informalmente falando
__________________________

a)

$y = ln(cos(\sqrt[3]{x}))$

Derivando pela regra da cadeia, temos:

$y'=\dfrac{1}{cos(\sqrt[3]{x})}\cdot\dfrac{d}{dx}[cos(\sqrt[3]{x})]$

Derivamos cos(∛x) pela regra da cadeia também:

$y'=\dfrac{1}{cos(\sqrt[3]{x})}\cdot(-sen(\sqrt[3]{x}))\cdot\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{x}\\\\\\y'=-\dfrac{sen(\sqrt[3]{x})}{cos(\sqrt[3]{x})}\cdot\dfrac{d}{dx}x^{(1/3)}\\\\\\y'=-tg(\sqrt[3]{x})\cdot\dfrac{1}{3}\cdot x^{-(2/3)}\\\\\\y'=-tg(\sqrt[3]{x})\cdot\dfrac{1}{3\cdot x^{2/3}}\\\\\\\boxed{\boxed{y'=-\dfrac{tg(\sqrt[3]{x})}{3\sqrt[3]{x^{2}}}}}$

b)

$y=x^{5}-e^{-3ln(x)}$

Primeiro, vamos utilizar a regra da diferença:
"A derivada da diferença é a diferença das derivadas"

$y'=\dfrac{d}{dx}x^{5}-\dfrac{d}{dx}e^{-3ln(x)}=5x^{4}-\dfrac{d}{dx}e^{-3ln(x)}$

Agora, utilizarei a regra da cadeia (veja que a função e^(-3lnx) é uma composição da função e^x com a função -3ln(x).)

$y'=5x^{4}-e^{-3ln(x)}\dfrac{d}{dx}(-3ln(x))\\\\\\y'=5x^{4}-e^{-3ln(x)}\cdot(-3)\cdot\dfrac{d}{dx}ln(x)\\\\\\y'=5x^{4}+3e^{-3ln(x)}\cdot\dfrac{1}{x}\\\\\\\boxed{\boxed{y'=5x^{4}+3\cdot\dfrac{e^{-3ln(x)}}{x}}}$

Veja que podemos simplificar e^(-3ln(x)):

$y'=5x^{4}+3\cdot\dfrac{e^{-3ln(x)}}{x}}\\\\\\y'=5x^{4}+3\dfrac{e^{ln(x^{-3})}}{x}~~~~~~(e^{ln(a)}=a})\\\\\\y'=5x^{4}+3\dfrac{x^{-3}}{x}\\\\\\y'=5x^{4}+\dfrac{3}{x^{4}}\\\\\\\boxed{\boxed{y'=\dfrac{5x^{8}+3}{x^{4}}}}$

Na verdade, podíamos ter simplificado a função antes mesmo de derivar, assim não precisaríamos usar a regra da cadeia. Veja:

$y=x^{5}-e^{-3ln(x)}\\\\y=x^{5}-e^{ln(x^{-3})}\\\\y=x^{5}-x^{-3}\\\\y'=5x^{4}-(-3)\cdot x^{-4}\\\\\\y'=5x^{4}+3\dfrac{1}{x^{4}}=\dfrac{5x^{8}+3}{x^{4}}$