Question

Um reservatório de volume fixo que contém 100 litros de água pura (V = 100 l) passa a receber a partir de um momento t > 0 s uma vazão constante de solução salina (água sal) de 5 litros por segundo (a = 5 l/s) com concentração de 0,2 kg de sal por litro de solução (c = 0,2 kg/l) e à medida que a solução entra no tanque ela é homogeneizada através de agitação. Apesar do acréscimo de solução no tanque, ele não transborda porque há uma vazão de saída à razão constante de 5 litros por segundos (a = 5 l/s), que retira do tanque a mistura formada entre a água pura e solução salina.
a) Qual equação diferencial que representa a quantidade de sal (x = quantidade de sal em kg) neste processo? Apresenta sua forma genérica (com os parâmetros) e sua forma numérica (substituição de valores).
b) A quantidade de sal no tanque é função de qual(ais) variável(eis)?
c) Determine a solução geral e a solução particular do problema descrito.
d) Em que momento a massa de sal no tanque será de 10 kg?
e) Qual a massa de sal no reservatório quando passa muito tempo (t ? ?).

Answer 1

A massa do sal no reservatório é de 10.

Vamos aos dados/resoluções:

dx/dt = taxa de entrada - taxa saída

Taxa de entrada = (0,2 kg/l).(5l/s) = 1kg/s

Taxa de saída = (x(t)/100).(5l/s) = (x(t)/20)

dx/dt =  1 -  (x(t))/20  

dx/dt = 1  -  x/20 (20-x)/20

dx/dt =(20-x)/20   dx/(20-x) = dt/20   ∫▒dx/(20-x) = ∫▒dt/20    -ln|20-x| = t/20  + c

Para t =1, x(t) =1

-ln|20-1| = 1/20  + c

-ln|19| = 0,05 +c

ln|19|=-0,05-c

e^(-0.05-c) = 19

0.95. e^(-c) =19

e^(-c) =19/0.95

e^(-c) = 20

20-20e^(-0.05t) = x

para 10kg temos

20-20e^(-0.05t) = 10

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)