Question

Seja u = y^3f(z/y, x/y), mostre que

x∂u/∂x + y∂u/∂y + z∂u/∂z = 3u

Answer 1

É verdade que $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z} = 3u$, dado que u = y³.f(z/y,x/y).

Para facilitar os nossos cálculos, vamos considerar que v = z/y e w = x/y.

Assim, obtemos a função u = y³.f(v,w).

Precisamos derivar parcialmente a função u em relação a x, y e z.

Observe que será preciso utilizar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.

Dito isso, temos que:

$\frac{\partial u}{\partial x}=y^3.(\frac{\partial f}{\partial v}.\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}.\frac{\partial w}{\partial x})$

$\frac{\partial u}{\partial x}=y^3.\frac{\partial f}{\partial w}.\frac{1}{y}$

$\frac{\partial u}{\partial x}=y^2\frac{\partial f}{\partial w}$.

$\frac{\partial u}{\partial y}=3y^2.f(v,w)+y^3.(\frac{\partial f}{\partial v}.\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial w}.\frac{\partial w}{\partial y})$

$\frac{\partial u}{\partial y}=3y^2.f(v,w)+y^3(\frac{\partial f}{\partial v}.(\frac{-z}{y^2}) + \frac{\partial f}{\partial w}.(\frac{-x}{y^2}))$

$\frac{\partial u}{\partial y}=3y^2.f(v,w) - yz\frac{\partial f}{\partial v}-xy\frac{\partial f}{\partial w}$.

$\frac{\partial u}{\partial z}=y^3.(\frac{\partial f}{\partial v}.\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial w}.\frac{\partial w}{\partial z})$

$\frac{\partial u}{\partial z}=y^3.\frac{\partial f}{\partial v}.\frac{1}{y}$

$\frac{\partial u}{\partial z}=y^2\frac{\partial f}{\partial v}$.

Calculadas as derivadas parciais, precisamos substituí-las na equação $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z}$.

Sendo assim, obtemos:

$x.y^2\frac{\partial f}{\partial w}+y.(3y^2f(v,w) - yz\frac{\partial f}{\partial v}-xy\frac{\partial f}{\partial w}) + z.y^2\frac{\partial f}{\partial v}=$

$x.y^2\frac{\partial f}{\partial w} + 3y^3.f(v,w) - y^2z\frac{\partial f}{\partial v}-xy^2\frac{\partial f}{\partial w}+z.y^2\frac{\partial f}{\partial v}=$

3y³.f(v,w).

Como fizemos a substituição v = z/y e w = x/y, então:

3y³.f(z/y,x/y).

Perceba que a função u é igual a u = y³.f(z/y,x/y). Podemos reescrever essa função da seguinte maneira: f(z/y,x/y) = u/y³.

Substituindo o valor de f(z/y,x/y) na igualdade 3y³.f(z/y,x/y), concluímos que:

3y³.u/y³ =

3u, como queríamos demonstrar.