Question

Considere a equação sen(2) + sen(4) = 0.

(a) Usando uma identidade trigonométrica, simplifique a equação e resolva-a para
-π/2 ≤ ≤ /2.

(b) Resolva a equação para −∞ < < ∞.

Answer 1

Analisando trigonometricamente a equação dada, temos que:

a) x = π/3 e x = -π/3.

b)$x=\frac{\pi}{3}+n.2\pi$ ou $x=-\frac{\pi}{3}+n.2\pi$

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte equação:

$sen(2x)+sen(4x)=0$

Sabemos que existe a propriedade que:

$sen(2x)=2.sen(x).cos(x)$

Então também sabemos que:

$sen(4x)=2.sen(2x).cos(2x)$

Então voltando a equação:

$sen(2x)+sen(4x)=0$

$sen(2x)=-sen(4x)$

Usando a propriedade discutida acima nele:

$sen(2x)=-2.sen(2x).cos(2x)$

Cortando o seno dos dois lados:

$sen(2x)=-2.sen(2x).cos(2x)$

$1=-2cos(2x)$

$cos(2x)=-\frac{1}{2}$

Assim esta é nossa solução temporária, o cossen ode 2x é -1/2.

Agora vamos as questões:

(a) Usando uma identidade trigonométrica, simplifique a equação e resolva-a para -π/2 ≤ ≤ /2.

Então queremos uma solução para a nossa equação:

$cos(2x)=-\frac{1}{2}$

E existem dois angulos entre -π e π que tem estes cosseno, o angulo de 2π/3 (120º) e o angulo de -2π/3 (-120º).

Então temos que:

$2x=\frac{2\pi}{3}$ então $x=\frac{\pi}{3}$

ou

$2x=-\frac{2\pi}{3}$ então $x=-\frac{\pi}{3}$

Assim temos estas duas soluções, x = π/3 e x = -π/3.

(b) Resolva a equação para −∞ < < ∞.

Neste caso, não estamos restritos somente um volta no circulo trigonometrico, então podemos adicionar 2π (360º, uma volta completa), quantas vezes quisermos. Assim nossa solução geral fica:

$x=\frac{\pi}{3}+n.2\pi$

ou

$x=-\frac{\pi}{3}+n.2\pi$

Onde n é qualquer número natural. Assim ele pega as respostas anteriores e todas as possíveis voltas que quisermos dar, sendo n também o número de voltas.