Question

Seja h(x) um polinômio cujas raízes complexas são (2 - i) e 3, então

A
h(x) = x3 - 7x2 + 17x -15

B
h(x) = x3 -7x2 -10x - 5

C
h(x) = x3 +7x2 +10x + 15

D
h(x) = -x3 + 7x2 10x + 5

E
h(x) = -x3+7x2-17x + 5

Answer 1

A equação de 3° grau com essas raízes é h(x) = x³ - 7x² + 17x - 15.

Sabendo as raízes da equação, podemos encontrar os coeficientes da equação pelas relações de Girard, sendo uma equação do 3° grau com forma geral dada por ax³ + bx² + cx + d = 0, temos as seguintes relações:

x1 + x2 + x3 = -b/a

(x1.x2) + (x1.x3) + (x2.x3) = c/a

x1.x2.x3 = -d/a

Calculando estas razões, temos:

-b/a = 3 + 2 - i + 2 + i

-b/a = 7

c/a = 3.(2 - i) + 3.(2 + i) + (2 - i)(2 + i)

c/a = 6 - 3i + 6 + 3i + 4 + 1

c/a = 17

-d/a = 3.(2 + i)(2 - i)

-d/a = 15

Como todas as frações tem denominador a, sabemos que a é o mmc entre 7, 17 e 15, que é igual a 1, logo a = 1. Então temos b = -7, c = 17 e d = -15. A equação de terceiro grau é:

h(x) = x³ - 7x² + 17x - 15

Resposta: A