Gostaria que me ajudassem na resolução desta questão de matemática.
(FEI-SP) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, são dados um ponto P(2,3) e uma reta r de equação x + y + 1 =0. Seja Q o ponto de intersecção da perpendicular à reta r, traçada pelo ponto P, com a reta r. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.
Respostas
Uma reta (r): x + y + 1 = 0, podemos reescrever a equação que é (r) y = - x - 1,
logo o coeficiente angular da reta (r) é mr= - 1.
Um ponto P(2,3) que passa pela reta (s) perpendicular a (r), se (s) é perpendicular (r)
então ms= - 1/mr ⇒ ms = - 1/ (-1) ⇒ ms = 1
logo (s): y = msx + b ⇒ y = x + b ⇒ achando b ⇒ (s) passa por P(2,3)
substitui em (s) temos ⇒ 3 = 2 + b ⇒ b = 3 - 2 ⇒ b = 1
(s): y = x + 1 ou ( - x + y - 1 = 0).
Achando Q(x0,y0), passa por (r) e (s)
(r): x0 + y0 + 1 =0
(s): - x0 + y0 - 1 =0
fazendo (r) + (s) fica ⇒ x0 + y0 - x0 +y0 +1 - 1 =0 ⇒2y0 =0 ⇒ y0 = 0 ⇒
⇒ x0 + 0 +1 =0 ⇒ x0 = -1 ⇒ Q( - 1, 0)
Ponto médio é M(xM,yM)
xM= (xQ + xP)/2 = ( -1 + 2)/2 ⇒ xM = 1/2
yM= ( yQ + yP)/2 = ( 0 + 3)/2 ⇒ yM = 3/2
M( 1/2 , 3/2)
x
As coordenadas do ponto médio do segmento PQ é (1/2, 3/2).
Essa questão se trata sobre o cálculo de pontos médios.
As coordenadas do ponto médio M podem ser calculadas por:
xM = (xA + yB)/2
yM = (yA + yB)/2
Primeiro, devemos encontrar a reta s que passa por P e é perpendicular a r. Se as retas são perpendiculares, o produto dos coeficientes angulares é -1:
mr·ms = -1
Da reta r, sua forma reduzida é:
y = -x - 1
Logo, temos mr = -1, então:
-1·ms = -1
ms = 1
A reta s tem coeficiente angular igual a 1 e passa pelo ponto P, então:
3 = 2·1 + n
n = 1
s: y = x + 1
O ponto Q é o ponto de interseção entre r e s:
-x - 1 = x + 1
-2x = 2
x = -1
y = -1 + 1
y = 0
Temos então que Q = (-1, 0) e P = (2, 3), o ponto médio é:
M = ((-1 + 2)/2, (0 + 3)/2)
M = (1/2, 3/2)
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