Question

URGENTEEE
UFRGS A circunferenci x2 + y2 - 2x - 4y + k = 0 é tangente a reta de equação x+y=1. O valor de k é

Answer 1

Cálculos Abaixo (Leia Devagar)

Equação da Circunferência:

${x}^{2} + {y}^{2} - 2x - 4y + k = 0$

Vamos tentar transformá-la em uma Equação Reduzida:

$( {x}^{2} - 2x + 1) + ( {y}^{2} - 4y + 4) = - k + 5$

${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = - k + 5$

Por esta Equação Reduzida, sabemos que o Centro da Circunferência está no ponto (1;2) e que o raio mede:

$r = \sqrt{ - k + 5}$

A reta que ele nos deu é a seguinte:

$y = 1 - x$

Vamos encontrar pelo menos dois pontos desta reta:

$y = 1 - 0 = 1$

(X1;Y1) = (0;1)

$y = 1 - 1 = 0$

(X2;Y2) = (1;0)

Montando o Determinante:

| X Y 1 |

| X1 Y1 1 |

|X2 Y2 1 |

| X Y 1 | X Y

| 0 1 1 | 0 1

| 1 0 1 | 1 0

X + Y + 0 -(1 + 0 + 0)

X + Y -1 = 0

Encontramos a Equação Geral da Reta.

Coeficiente A: 1

Coeficiente B: 1

Coeficiente C: -1

Como a reta é tangente, a distância dela até o centro é igual ao raio:

$| \frac{axc + byc + c}{ {a}^{2} + {b}^{2} } | = | \frac{1 + 2 - 1}{2} | = 1$

$1 = \sqrt{ - k + 5}$

${1}^{2} = - k + 5$

$- k = 1 - 5$

$k = 4$