Question

Me expliquem em palavras como conseguiu chegar neste resultado final

Answer 1

O seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento. Se x é um arco qualquer então

sen(x)=cos(π/2-x)

Vamos aplicar esse conceito para deduzir o seno da soma de dois arcos.

$\sin(a + b) = \cos( \frac{\pi}{2} - (a + b ) ) \\ \cos( \frac{\pi}{2} - a - b) \\ \cos( (\frac{\pi}{2} - a) - b)$

Aplicando o cosseno da diferença

cos(a-b) =cos(a).cos(b)+sen(a).sen(b)

Temos

$\cos(( \frac{\pi}{2} - a) - b) \\ = \cos(\frac{\pi}{2} - a)\cos(b) + \\ \sin( \frac{\pi}{2} - a). \sin(b)$

Como cos(π/2-a)=sen(a) e sin(π/2-a)=cos(a)

Temos

$\sin(a + b) \\ = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)$

Como a multiplicação é comutativa,

cos(a).sen(b)=sen(b).cos(a)

Substituído temos

$\sin(a + b) \\ = \sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)$

E assim concluímos a demonstração.