Question

Na elaboração de políticas públicas que estejam em

conformidade com a legislação urbanística de uso e ocupação do

solo em regiões metropolitanas, é fundamental o conhecimento de

leis descritivas do crescimento populacional urbano. Suponha que a

lei dada pela função kt p (t) = 0,5. (2^kt) expresse um modelo

representativo da população de uma cidade (em milhões de

habitantes) ao longo do tempo t (em anos), contados a partir de

1970, isto é, t = 0 corresponde ao ano de 1970, sendo k uma

constante real. Sabendo que a população dessa cidade em 2000

era de 1 milhão de habitantes:

a) Extraia do texto dado uma relação de forma a obter o valor de k.

b) Segundo o modelo de evolução populacional dado, descreva e

execute um plano de resolução que possibilite estimar em qual ano

a população desta cidade atingirá 16 milhões de habitantes.

Answer 1

Usando conceitos de funções exponenciais e propriedades de logaritmo temos que

A)k=0,7

B)t=35,6 anos

Explicação passo-a-passo:

Temos que a função que expressa a quantidade de população ao longo do tempo é

$p(t)=0,5.2^{kt}$

Para encontrar a constante k vamos usar o fato de que em 2000 tínhamos p(30)=1000000

Substituindo na função temos

$1000000=0,5.2^{k30}$

$2000000=2^{k30}$

fazemos o logaritmo na base 2 dos dois lados

$\log_2(2000000)=\log_2(2^{k30})$

$20,9=k30$

$\frac{20,9}{30}=k$

$k=0,7$

B) para estimar o ano em que a população atingira 16 milhões fazemos

$p(t)=0,5.2^{0,7t}$

$16000000=0,5.2^{0,7t}$

$32000000=2^{0,7t}$

fazemos o logaritmo na base 2 dos dois lados

$\log_2(32000000)=\log_2(2^{0,7t})$

$24,9=0,7t$

$t=\frac{24,9}{0,7}$

$t=35,6 anos$

Answer 2

O coeficiente "k" da lei que descreve o crescimento da população é igual a 0,697719 e o ano em que a população atingirá 16 milhões de habitantes é igual a 2005.

Explicação passo-a-passo:

A lei que descreve o crescimento da população ao longo do tempo t, em anos, é dada por

$p(t)=0,5\;.\;2^{kt}$

a) Se o ano de 1970 corresponde a t = 0, então o ano 2000 corresponde a t = 30. Sabendo que em 2000 a população era de $1.000.000=10^6$ habitantes, então temos que

$p(30)=0,5\;.\;2^{k\;.\;30}\\10^6=0,5\;.\;2^{30k}\\10^6=\frac{1}{2}\;.\;2^{30k}\\10^6=2^{-1}\;.\;2^{30k}\\10^6=2^{30k - 1}$

Aplicando log na base 2 a ambos os lados da equação

$log_2\;10^6=log_2\;2^{30k - 1}\\19,932=(30k - 1)\;.\;log_2\;2\\19,932=30k - 1\\30k=19,932+1\\30k=20,932\\k=20,932/30\\k=0,697719$

b) Agora, podemos calcular o ano em que a população atingirá os 16 milhões de habitantes:

$16.000.000=0,5\;.\;2^{0,697719\;.\;t}\\16.000.000=2^{0,697719\;.\;t-1}$

Aplicando novamente o log na base 2 a ambos os lados da equação

$log_2\;16.000.000=log_2\;2^{0,697719\;.\;t-1}\\23,93157=(0,697719\;.\;t-1)\;.\;log_2\;2\\23,93157=0,697719\;.\;t-1\\0,697719\;.\;t=23,93157+1\\0,697719\;.\;t=24,93157\\t=24,93157/0,697719\\t=35,73$

Somando esse valor ao ano de 1970, chegamos ao ano de 2005.