Os pontos (2, 0) e (−2, 0) são vértices de uma hipérbole cujos focos são (3, 0) e (−3,0). Determine a equação desta hipérbole.
Respostas
Resposta:
x²/4 - y²/5 = 1
Explicação passo-a-passo:
Bom, se os focos são (3,0) e (-3,0) sabemos que c = 3, e se os vértices são (2,0) e (-2,0), logo a = 2 (Se quiser esboce em um gráfico, fica melhor de visualizar). Sabemos que essa hipérbole tem origem no centro (0,0), portanto, usaremos a equação reduzida x²/a² - y²/ b² = 1, para essa hipérbole, que no caso estaria "de pé" com o eixo real paralelo ao eixo x.
Para achar o b, substituimos na fórmula c²=a²+b², fica assim:
3²=2²+b²
9=4+b²
5=b²
b=√5
Agora basta substituir na equação x²/a² - y²/ b² = 1:
x²/2² - y²/√5² = 1
x²/4 - y²/5 = 1
A equação dessa hipérbole é dada por x²/4 - y²/5 = 1.
Hipérboles
Em uma hipérbole, temos as seguintes características:
- o valor de 2a é a medida do eixo real;
- o valor de 2b é a medida do eixo imaginário;
- o valor de 2c é a medida da distância focal;
- a, b e c estão relacionados por c² = a² + b²;
- A equação geral da hipérbole com centro na origem é x²/a² - y²/b² = 1.
A distância entre os dois vértices é igual a 2a, logo:
2a = 2 - (-2)
a = 2
A distância entre os dois focos é igual a 2c, logo:
2c = 3 - (-3)
c = 3
Calculando b:
c² = a² + b²
3² = 2² + b²
b² = 5
b = √5
Logo, a equação da hipérbole é:
x²/2² - y²/√5² = 1
x²/4 - y²/5 = 1
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