Question

Seja ABCD é um trapézio de bases BC e AD e lados não paralelos AB e CD. Seja E o ponto médio do lado CD e suponha que a a área do triângulo ABE seja igual a 360cm². Seja F o ponto de intersecção das retas AD e BE.

1. Explique por que os triângulos BCE e FDE são congruentes.

2. Explique por que as áreas dos triângulos ABE e AEF são iguais.

3. Calcule a área de ABCD

Answer 1

A explicação do porquê os triângulos BCE e FDE são congruentes está descrita abaixo; A explicação do porquê as áreas dos triângulos ABE e AEF são iguais está descrita abaixo; A área de ABCD é 720 cm².

1. Primeiramente, observe que o segmento AF é paralelo ao segmento BC.

Sendo assim, os ângulos EDF e ECB são congruentes.

Os ângulos BEC e DEF são opostos pelo vértice. Logo, são congruentes.

Como E é ponto médio, então DE = EC.

Portanto, os triângulos BCE e FDE são congruentes.

2. Como E é o ponto médio, é verdade que: S(ABCD)/2 = S(ADE) + S(BCE).

Daí:

S(ABCD) = 2(S(ADE) + S(BCE))

S(ABCD) = 2S(ADE) + 2S(BCE)

S(ABCD) - 2S(ADE) - 2S(BCE) = 0

S(ABCD) - S(ADE) - S(BCE) - S(ADE) - S(BCE) = 0.

Observe que S(ABCD) - S(ADE) - S(BCE) equivale à área do triângulo S(ABE). Logo, S(ABE) = S(ABCD) - S(ADE) - S(BCE).

Além disso, temos que a área do triângulo AEF é igual a S(ADE) + S(DEF). Como DEF é congruente a BCE, então S(AEF) = S(ADE) + S(BCE).

Assim:

S(ABE) - S(AEF) = 0

S(ABE) = S(AEF).

3. Se S(ABE) = S(ABCD) - S(ADE) - S(BCE), então:

S(ABE) = S(ABCD) - S(AEF)

S(ABCD) = S(ABE) + S(AEF).

Como S(ABE) = 360 e S(ABE) = S(AEF), podemos confirmar que:

S(ABCD) = 360 + 360

S(ABCD) = 720 cm².