Question

O gráfico da função f:[−4,4]→R está representado abaixo.

Seja g a função definida por g(x)= ㏑(lf(x)l)+ $\frac{1}{\sqrt{f(x)} }$. O domínio da função g é:

a. (−3,4]
b. (−3,4] −{1}
c. (−3,1)
d. [−4,4] −{−3,1}
e. [−4,4]

Answer 1

Seja $g: D \to \mathbb{R}$ a função dada por:

$g(x) = \ln \left|f(x)\right| + \dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}.$

Uma vez que a função $g$ depende de$f$, o seu domínio será, no máximo, igual ao de $f$, que é $[-4,4]$. Contudo, a presença do logaritmo e da raiz quadrada impõe restrições a este domínio.

Relativamente ao primeiro termo, sabemos que o argumento do logaritmo deve ser positivo. Como esse argumento corresponde a um módulo, sabemos que é sempre não-negativo, ou seja, $\left|f(x)\right| \geq 0$. Portanto, precisamos apenas de impor que:

$\left|f(x)\right| \neq 0 \iff f(x) \neq 0.$

Observando o gráfico, verificamos que $f$ tem zeros em $-3$ e $1$, pelo que estes pontos devem ser excluídos do domínio.

Relativamente ao segundo termo, sabemos que o argumento da raiz qudrada deve ser não-negativo. Além disso, como está em denominador, também não se pode anular. Portanto, teremos de impor que:

$f(x) >0.$

Observando o gráfico, verificamos que $f$ toma valores positivos em:

$(-3,1) \cup (1,4] = (-3, 4] - \{1\}.$

Note-se que este conjunto já exclui os zeros da função $f$ tal como imposto anteriormente. Assim, é este o domínio da função $g$:

$D = (-3,4]-\{1\}.$

Resposta: $\textrm{b.} \quad (-3,4]-\{1\}.$