Question

A função φ de Euler não é uma função crescente em N. Temos, por exemplo, φ(6)=2<4= φ(5), apesar de que 6 >5. Mostre que a função φ de Euler quando restrita ao conjunto dos números primos é uma função crescente, ou seja, se p e q são primos tais que p < q então φ(p)<φ(q).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Sejam os primos p e q com p<q. Sabemos então sabemos que:

p tem (p-2) co- primos, pois apenas p|p e 1|p => φ(p)= p-2

e

q tem (q-2) co-primos, pois apenas q|q e 1|q => φ(q)= q-2

Por hipótese p<q => (p-2)< (q-2), portanto

φ(p)< φ(q)