Question

Me ajudem por favor

Answer 1

Podemos utilizar a propriedade da mudança de base de logaritmos:

$\log_a[b] = \dfrac{\log_c[b]}{\log_c[a]}$

Onde a é a base antiga, b é o logaritmando e c é a base nova.

No primeiro caso, precisamos que a base seja 3. Porque há uma propriedade que diz:

$a^{\frac{\log_c[b]}{\log_{c}[a]}} = b^{\frac{1}{\log_{c}[a]}}$

Então convertendo a base do primeiro logaritmo:

$\log_5[7] = \dfrac{\log_3[7]}{\log_3[5]}$

Teremos:

$3^{\frac{\log_3[7]}{\log_3[5]}}$

Que é o mesmo que:

$\boxed{7^{\frac{1}{\log_3[5]}}}$

Agora, no segundo caso, precisamos de base 7, usar a propriedade. Mudando de base:

$\log_5[3] = \dfrac{\log_7[3]}{\log_7[5]}$

Vai ficar:

$7^{\frac{\log_7[3]}{\log_7[5]}}$

Que é o mesmo que:

$3^{\frac{1}{\log_7[5]}}$

Agora, se fizermos mais uma mudança de base, desta vez para base 3, teremos:

$\log_7[5] = \dfrac{\log_3[5]}{\log_3[7]}$

Teremos:

$3^{\frac{1}{\frac{\log_3[5]}{\log_3[7]}}} = 3^{\frac{\log_3[7]}{\log_3[5]}$

Que equivale a:

$\boxed{7^{\frac{1}{\log_3[5]}}}$

Que é o mesmo do outro número.