Question

Os sinais das derivadas de primeira e segunda ordem de uma função nos fornecem informações sobre o comportamento desta e a identificação de valores de máximo e mínimo local. Aplicando o Teste da Primeira e Segunda Derivada à função f(x) = x (x+2)³ assinale a alternativa correta.

Alternativas
Alternativa 1:

Alternativa 2:
f (-1) é um valor de mínimo local.

Alternativa 3:
O gráfico de f é côncavo para cima no intervalo ( - 2, - 1).

Alternativa 4:
A função possui um ponto de inflexão em (- 1/2, - 27/16).

Alternativa 5:
f (-2) é um valor de máximo local.

Answer 1

A altewrnativa correta (provavelmente) é a alternativa 1 tendo em vista que todas as outras alterativas estão incorretas e a alternativa 1 não está escrita na pergunta.

O teste da primeira derivada nos dá os pontos críticos, que são os máximos locais, minimos locais ou pontos de sela (que não é máximo e nem mínimo local).

Aplicando o teste da primeira derivada na função teremos como resultado

$f'(x)=(x+2)^3+3x(x+2)^2=0$ que possui os pontos {-2, -0.5} como raízes

Aplicaremos agora o teste da segunda derivada para encontrar a concavidade da função nos pontos críticos.

Lembre que se a derivada segunda no ponto for maior que zero, a concavidade é para cima.

Se for menor que zero, para baixo

Se for zero, é ponto de sela.

$f''(x)=3(x+2)^2+3(x+2)^2+6x(x+2)=0$

Para x=-2 temos um ponto de sela.

$f''(x)=3{\bf(-2+2)}^2+3{\bf(-2+2)}^2+6(-2){\bf(-2+2)}=0$

Para x= -0.5 Temos um ponto de mínimo (porque a concavidade é voltada para cima)

$f''(x)=3{\bf(-0.5+2)}^2+3{\bf(-0.5+2)}^2+6(-0.5){\bf(-0.5+2)}$

$f''(x)=3{\bf(1.5)}^2+3{\bf(1.5)}^2+6(-0.5){\bf(1.5)}=45$

Answer 2

Resposta:

- infinito, - 1/2

Explicação passo a passo: