Question

Se x₁ , x₂ , ... ,x₂₀₁₉ são às raízes de

P₍ₓ₎ = x²⁰¹⁹ + 2019x – 1

Determine o valor de $\sum_{x = i}^{2019} \dfrac{x_i}{x_i - 1 }$

(a) 1

(b) 2017 <= opção correcta!

(c) 2019

(d) 2010

POR FAVOR, dê uma resposta ORGANIZADA e DETALHADA com explicação passo-a-passo!)
★★★KHANIMAMBO :D :)​

Answer 1

Resposta: A soma $S={\sum_{i=1}^{2019}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}$ é igual a $2017$, ou seja, $S={\sum_{i=1}^{2019}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}=2017$. Portanto a alternativa (b) está correta.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos à busca de um padrão que rege os polinômios com o formato semelhante ao do exercício e de grau inferior a $2019$. Tal processo faz-se indispensável para que possamos analisar e identificar possíveis padrões existentes entre o somatório e o polinômio proposto, sempre pegando um polinômio de grau inferior e que siga o formato de $P(x)=x^{2019}+2019x-1$. Com isso vamos começar com o polinômio $P'(x)$ de grau $2$ $(gr(P'(x))=2)$, dado por $P'(x)=x^{2}+2x-1$ e o respectivo somatório $\sum_{i=1}^{2}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}$. A soma $\sum_{i=1}^{2}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}$ equivalerá a:

$\sum_{i=1}^{2}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}=\frac{x_{1}}{x_{1}-1}+\frac{x_{2}}{x_{2}-1}\ \ \Rightarrow$

$\sum_{i=1}^{2}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}=\frac{x_{1} \cdot (x_{2}-1)}{(x_{1}-1) \cdot(x_{2}-1)}+\frac{x_{2} \cdot (x_{1}-1)}{(x_{1}-1) \cdot(x_{2}-1)}\ \ \Rightarrow$

$\sum_{i=1}^{2}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}=\frac{2x_{1}x_{2}-1(x_{1}+x_{2})}{x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1}$

Consideremos agora um outro polinômio $P''(x)$ de grau $3$ $(gr(P''(x))=3)$ e também de mesmo formato que $P(x)$, dado por $P''(x)=x^{3}+3x-1$. O somatório correspondente será $\sum_{i=1}^{3}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}$. Portanto temos que a somatória expandida se ampliará a:

$\sum_{i=1}^{3}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}=\frac{x_{1}}{x_{1}-1}+\frac{x_{2}}{x_{2}-1}+\frac{x_{3}}{x_{3}-1}\ \ \Rightarrow$

$\sum_{i=1}^{3}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}=\frac{x_{1}\cdot (x_{2}-1) \cdot (x_{3}-1)}{(x_{1}-1) \cdot (x_{2}-1) \cdot (x_{3}-1)}+\frac{x_{2} \cdot (x_{1}-1) \cdot (x_{3}-1)}{(x_{1}-1) \cdot (x_{2}-1) \cdot (x_{3}-1)}+\frac{x_{3} \cdot (x_{1}-1) \cdot (x_{2}-1)}{(x_{1}-1) \cdot (x_{2}-1) \cdot (x_{3}-1)}\ \ \Rightarrow$

$\sum_{i=1}^{3}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}=\frac{3x_{1}x_{2}x_{3}-2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})+(x_{1}+x_{2}+x_{3})}{x_{1}x_{2}x_{3}-(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})+(x_{1}+x_{2}+x_{3})-1}$

Analisando ambos os somatórios expandidos, percebe-se que os dois resultaram em uma fração cujo numerador e denominador contêm o produto ou soma de produtos das raízes dos polinômios correspondentes. Logo deve-se lembrar das Relações entre Coeficientes e Raízes ou Relações de Girard para solucionar o problema proposto. A partir do padrão verificado acima e com o auxílio das Fórmulas de Girard, pode-se facilmente encontrar o valor da soma $\sum_{i=1}^{2019}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}$, onde $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{2019}$ são as raízes de $P(x)=x^{2019}+2019x-1$. Expandindo o somatório $S=\sum_{i=1}^{2019}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}$ e colocando todas as $2019$ frações num mesmo denominador comum, temos que sua forma mais reduzida será:

$S=\frac{2019x_{1}x_{2}...x_{2019}-2018(x_{1}...x_{2018}+...+x_{2}...x_{2019})+2017(x_{1}...x_{2017}+...+x_{3}...x_{2019})-...+...+(x_{1}+x_{2}+...+x_{2019})}{x_{1}x_{2}...x_{2019}-(x_{1}...x_{2018}+...+x_{2}...x_{2019})+(x_{1}...x_{2017}+...+x_{3}...x_{2019})-...+...-1}$

Aplicando as Relações de Girard, obteremos o seguinte resultado:

$S=\frac{2019\cdot(-1)^{2019}\cdot\frac{(-1)}{1}-2018\cdot(-1)^{2018}\cdot\frac{2019}{1}+0-0+0-0+...+0}{(-1)^{2019}\cdot\frac{(-1)}{1}-(-1)^{2018}\cdot\frac{2019}{1}+0-0+0-0+...+0-1}\ \ \Rightarrow$

$S=\frac{2019-2018\cdot2019}{1-2019-1}\ \ \Rightarrow$

$S=\frac{2019\cdot(1-2018)}{-2019}\ \ \Rightarrow$

$S={\sum_{i=1}^{2019}{\frac{x_{i}}{x_{i}-1}}=2018-1= \fbox{2017}$

Abraços!