Question

ESTUDANDO UMA CULTURA DE MICRORGANISMOS, UMA BIÓLOGA CONCLUIU QUE NO INICIO DO ESTUDO HAVIA 3.000 MICRÓBIOS NA CULTURA E QUE, APÓS 20 MIN, HAVIA 9.000. SABENDO QUE A POPULAÇÃO DESSA CULTURA CRESCE EXPONENCIALMENTE, ISTO É, O NÚMERO DE N DE INDIVÍDUOS EM FUNÇÃO DO TEMPO T, EM HORA, É DADO POR N(T)=ka^t, EM QUE K e A SÃO CONSTANTES POSITIVAS, COM a>1, DETERMINE O NÚMERO DE INDIVÍDUOS DESSA CULTURA APÓS 1 HORA DO INÍCIO DO ESTUDO.

Answer 1

Em t = 0, haviam 3000 micróbios. A função é da forma:

$N(t) = K \cdot a^{t}$

Então substituindo t por 0 e N(t) por 3000:

$3000 = K \cdot a^0$

Qualquer número elevado a zero é 1:

$3000 = K \cdot 1$

Assim, descobrimos que:

$K = 3000$

Agora, quando t = 20 min = 1/3 hora, a população é 9000. Substituindo: t = 1/3 e N(t) = 9000 na função:

$9000 = 3000 \cdot a^{\frac{1}{3}}$

Passa o 3000 dividindo para o outro lado:

$\dfrac{9000}{3000} = a^{\frac{1}{3}}$

$3 = a^{\frac{1}{3}}$

Agora, dado que:

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^c$

Elevamos ambos os lados da equação ao cubo:

$3^3 = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3$

O que se transforma em:

$27 = a^{\frac{1}{3}\cdot 3}$

Assim:

$27 = a^{1}$

Ou seja:

$a = 27$

E a função se torna:

$\boxed{N(t) = 3000 \cdot 27^{t}}$

Agora, queremos a população após 1 hora. Substituindo t = 1 na função acima:

$N(t) = 3000 \cdot 27^{1}$

$N(t) = 3000 \cdot 27$

$\boxed{N(t) = 81000 \text{ microbios}}$