Question

Determine o momento de inércia de uma barra de massa M e de diâmetro desprezível em relação ao seu comprimento L:: (a) em relação ao centro de massa, (b) em relação a uma das extremidades.​

Answer 1

Os passos referentes ao cálculo dos momentos de inércia da barra são mostrados a seguir.

Explicação:

a) O momento de inércia em relação ao centro de massa é igual a:

$I_{cm}=\int\limits^{L/2}_{-L/2} {x^2\;.\;\frac{M}{L} } \, dx \\\\I_{cm}=\frac{M}{L}\;.\int\limits^{L/2}_{-L/2} {x^2} \, dx\\\\I_{cm}=\frac{M}{L}\;.\left[\frac{x^3}{3} \right]_{-L/2}^{L/2}\\\\I_{cm}=\frac{M}{3L}\;.\left[x^3 \right]_{-L/2}^{L/2}\\\\I_{cm}=\frac{M}{3L}\;.\left[(\frac{L}{2})^3-(-\frac{L}{2})^3 \right]\\\\I_{cm}=\frac{M}{3L}\;.(\frac{L^3}{8}+\frac{L^3}{8})\\\\I_{cm}=\frac{M}{3L}\;.\frac{2\;.\;L^3}{8}\\\\I_{cm}=\frac{M}{3L}\;.\frac{L^3}{4}\\\\I_{cm}=\frac{ML^2}{12}$

b) O momento de inércia em relação a uma de suas extremidades é igual a:

$I_{e}=\int\limits^{0}_{L} {x^2\;.\;\frac{M}{L} } \, dx \\\\I_{e}=\frac{M}{L}\;.\int\limits^{0}_{L} {x^2} \, dx\\\\I_{e}=\frac{M}{L}\;.\left[\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{L}\\\\I_{e}=\frac{M}{3L}\;.\left[x^3 \right]_{0}^{L}\\\\I_{e}=\frac{M}{3L}\;.(L^3-0^3)\\\\I_{e}=\frac{M}{3L}\;.L^3\\\\I_{e}=\frac{ML^2}{3}$