Question

Em um reator nuclear, os nêutrons de alta velocidade são produzidos durante os processos de fissão
nuclear do urânio. Para um nêutron causar fissões adicionais, ele deve ser detido por colisões com núcleos no
moderador do reator. O primeiro reator nuclear (construído em 1942 na Universidade de Chicago) e o reator
envolvido no acidente de Chernobyl em 1986 usaram o carbono (grafite) como material moderador. Um nêutron
(massa = 1,0 u) viajando a 2,6 x 107 m/s sofre um choque frontal elástico com um núcleo de carbono (massa =
12 u) que está inicialmente em repouso. As forças externas durante a colisão são insignificantes. Calcule as
velocidades após a colisão. (1 u é a unidade de massa atômica, igual a 1,66 x 10-27
kg.)

Answer 1

Utilizando conservação de momento e energia, temos que ao final da colisão o neutron estará com velocidade de 2,2 . 10^(7) m/s para a esquerda e o carbono estará com velocidade de 4 . 10^(6) m/s para a direita.

Explicação:

Vamos definir algumas coisas antes de fazer as contas. Não vou utilizar números durante a conta, pois isto attrapalharia muito em um calculo tão extenso, então vou colocar um legenda sobre a letras que estarei usando:

$m_n$ Massa do Neutron.

$m_c$ Massa do Carbono.

$v_0$ Velocidade inicial do Neutron.

$v_n$ Velocidade final do Neutron.

$v_c$ Velocidade final do Carbono.

Com isso podemos começar.

Note que antes da colisão a unica energia era a cinetica do neutron que pode ser calculada:

$E=\frac{m_n.v_0^2}{2}$

E após a colisão a energia é da velocidade dos dois somados:

$E=\frac{m_n.v_n^2}{2}+\frac{m_c.v_c^2}{2}$

E como energia se conserva, estas duas devem ser iguals:

$\frac{m_n.v_0^2}{2}=\frac{m_n.v_n^2}{2}+\frac{m_c.v_c^2}{2}$

Simplificando:

$v_0^2=v_n^2+\frac{m_c}{m_n}.v_c^2$  (Equação 1)

Agora vamos fazer a mesma coisa para o momento linear. Inicialmente só tinha o momento do neutron:

$P=m_n.v_0$

E no final havia a soma dos dois momentos:

$P=m_n.v_n+m_c.v_c$

E como momento se conserva, então temos que:

$m_n.v_0=m_n.v_n+m_c.v_c$

Simplificando:

$v_0=v_n+\frac{m_c}{m_n}.v_c$ (Equação 2)

Agora que temos estas duas equações, vamos analisa-las:

$v_0^2=v_n^2+\frac{m_c}{m_n}.v_c^2$  (Equação 1)

$v_0=v_n+\frac{m_c}{m_n}.v_c$ (Equação 2)

Podemos isolar Vn na equação 2 e substituir na equação 1:

$v_0=v_n+\frac{m_c}{m_n}.v_c$

$v_n=v_0-\frac{m_c}{m_n}.v_c$

Subsituindo:

$v_0^2=v_n^2+\frac{m_c}{m_n}.v_c^2$

$v_0^2=(v_0-\frac{m_c}{m_n}.v_c)^2+\frac{m_c}{m_n}.v_c^2$

$v_0^2=v_0^2+\frac{m_c^2}{m_n^2}.v_c^2-2.v_0.\frac{m_c}{m_n}.v_c+\frac{m_c}{m_n}.v_c^2$

Agora basta isolar Vc e teremos a velocidade do carbono:

$2.v_0.\frac{m_c}{m_n}.v_c=(\frac{m_c^2}{m_n^2}+\frac{m_c}{m_n}).v_c^2$

$2.v_0.\frac{m_c}{m_n}=(\frac{m_c^2}{m_n^2}+\frac{m_c}{m_n}).v_c$

$2.v_0=(\frac{m_c}{m_n}+1).v_c$

$v_c=\frac{2.v_0}{\frac{m_c}{m_n}+1}$

E agora basta substituir as massa e a velocidade inicial pelos valores dados:

$v_c=\frac{2.v_0}{\frac{m_c}{m_n}+1}$

$v_c=\frac{2.2,6.10^{7}}{\frac{12u}{1u}+1}$

$v_c=\frac{5,2.10^{7}}{12+1}$

$v_c=4.10^{6}m/s$

E agora tendo a velocidade do carbono, podemos encontrar a velocidade final do neutron:

$v_0=v_n+\frac{m_c}{m_n}.v_c$ (Equação 2)

Basta substituir os valores:

$2,6.10^{7}=v_n+\frac{12u}{1u}.4.10^{6}$

$2,6.10^{7}=v_n+12.4.10^{6}$

$2,6.10^{7}=v_n+48.10^{6}$

$2,6.10^{7}=v_n+4,8.10^{7}$

$v_n=2,6.10^{7}-4,8.10^{7}$

$v_n=-2,2.10^{7}m/s$

Assim temos que ao final da colisão o neutron estará com velocidade de 2,2 . 10^(7) m/s para a esquerda e o carbono estará com velocidade de 4 . 10^(6) m/s para a direita.