Question

preciso muito da ajuda para a resolução dessa equação logarítmica e urgente!!! ​

Answer 1

Resposta:

S = {7}

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, vamos obter as condições de existência.

$x + 1 > 0 \\ x > - 1$

e

$x - 3 > 0 \\ x > 3$

Portanto, é preciso que x seja um valor maior que 3. Do contrário, a equação não tem solução.

Solução:

Observe que as bases dos logaritmos são diferentes. Precisamos igualar todo mundo à mesma base, de preferência a menor (no caso, base 2).

Mudança de base:

$log_{4}(x - 3) = \frac{ log_{2}(x - 3) }{ log_{2}(4) } = \frac{ log_{2}(x - 3) }{2}$

Retomando:

$log_{2}(x + 1) - \frac{ log_{2}(x - 3) }{2} = 2 \\ 2 log_{2}(x + 1) - log_{2}(x - 3) = 4 \\ log_{2}(x + 1)^{2} - log_{2}(x - 3) = 4 \\ log_{2}( \frac{ {(x + 1)}^{2} }{(x - 3)} ) = 4 \\ \frac{ {(x + 1)}^{2} }{x - 3} = {2}^{4} \\ {x}^{2} + 2x + 1 = 16(x - 3) \\ {x}^{2} + 2x + 1 = 16x - 48 \\ {x}^{2} + 2x + 1 - 16x + 48 = 0 \\ {x}^{2} - 14x + 49 = 0$

∆ = b² - 4ac

∆ = (-14)² - 4.1.49

∆ = 196 - 196

∆ = 0

Como ∆ = 0, teremos duas raízes reais e iguais.

x = (-b ± √∆)/2a

x = (14 ± 0)/2

x' = x" = 14/2 = 7