Question

Considere os vetores:
u= 2, - j + 2k
v= 5i + 5j - 2k
w=3i + 6j

Answer 1

5)

a) u.v=2.5-1.5+2.(-2)=10-5-4=1

u.w=2.3-1.6+2.0=6-6=0

b)

$|u| = \sqrt{ {2}^{2} + {( - 1)}^{2} + {2}^{2}} \\ |u| = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

${u}^{0} = \frac{u}{ |u| } = \frac{2}{3}i - \frac{1}{3}j + \frac{2}{3}k$

d) dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar é nulo.

Um vetor não nulo ortogonal a v é

w=3i+6j

e)

$( \frac{(2, - 1,2)(5,5, - 2)}{(5,5, - 2).(5,5, - 2)} ).(5,5, - 2) \\ = \frac{2.5 - 1.5 + 2.( - 2)}{5.5 + 5.5 - 2.( - 2)}.(5,5, - 2)$

$\frac{(10 - 5 - 4)}{25 + 25 + 4}.(5,5, - 2) \\ = \frac{1}{54}(5,5, - 2 ) = ( \frac{5}{54} , \frac{5}{54}, - \frac{ 1}{27})$

f)

$\frac{(2, - 1,2)(3,6,0)}{(3,6,0).(3,6,0)}. (3,6,0) \\ = \frac{6 - 6}{45}.(3,6,0) = 0.(3,6,0) \\ = (0,0,0)$

g)

$v. \frac{u}{ |u| } \\ (5,5, - 2). \frac{(2, - 1,2)}{3} \\ = \frac{5.2 + 5.( - 1) - 2.2}{3}$

$u. \frac{u}{ |u| } = \frac{10 - 5 - 4}{3} = \frac{1}{3}$

h) se b é paralelo a u então o vetor b é múltiplo de u. b=(4,-2,4) é um candidato.

$|b| = \sqrt{ {4}^{2} + {( - 2)}^{2} + {4}^{2} } \\ |b| = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$

${b}^{0} = \frac{b}{ |b| } = \frac{(4, - 2,4)}{6} \\ = \frac{2}{3}i - \frac{1}{3}j + \frac{2}{3}k$

i) vamos chamar esse vetor de k

$k = t.u \\ k = t.(2, - 1,2) \\ k = (2t, - t ,2t)$||k||=9

$||k|| = \sqrt{ {(2t)}^{2} + { ( - t)}^{2} + {(2t)}^{2} } \\ ||k|| = \sqrt{9 {t}^{2} } \\ 9 = \sqrt{9{t}^{2} } \\ {9}^{2} = 9 {t}^{2}$

${t}^{2} = \frac{81}{9} \\ {t}^{2} = 9 \\ t = \sqrt{9} \\ t = 3 \: ou \: t = - 3$

Se t=3 o vetor k se torna

k=6i-3j+6k

Se t for -3 o vetor k se torna

k=-6i+3j-6k