Question

Uma caixa de armazenamento retangular aberta na parte superior tem um volume de 10m³. O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa $ 10,00 por m² ao passo que o material das laterais custa $ 6,00 por m². Expresse o custo total do material como função do comprimento da base.

Answer 1

Uma caixa de armazenamento retangular com a parte superior aberta. O volume é a multiplicação de comprimento (a), largura (b) e altura (h):

$V = a \cdot b \cdot h = 10 \text{ m}^3$

O comprimento da base é o dobro da largura:

$a = 2 \cdot b$

ou:

$b = \dfrac{a}{2}$

Substituindo b em função de a na expressão do volume:

$a \cdot b \cdot h = 10$

$a \cdot \dfrac{a}{2} \cdot h = 10$

$\frac{h}{2} = \dfrac{10}{a^2}$

$h = 2 \cdot \dfrac{10}{a^2}$

$h = \dfrac{20}{a^2}$

A área total a ser utilizado o material é a soma da área das quatro paredes laterais mais a área do fundo:

$A_t = 2 \cdot (a \cdot h) + 2 \cdot (b \cdot h) + a \cdot b$

O material da base $(a \cdot b)$ custa R$ 10 por m² ao passo que o material das laterais custa R$ 6 por m². Então o custo da caixa é:

$C_t = 6 \cdot \left[2 \cdot (a \cdot h) + 2 \cdot (b \cdot h)\right] + 10 \cdot a \cdot b$

Agora, substituindo nesta expressão:

$b = \dfrac{a}{2}$

e:

$h = \dfrac{20}{a^2}$

Teremos:

$C_t = 6 \cdot \left[2 \cdot \left(a \cdot \dfrac{20}{a^2}\right) + 2 \cdot \left(\dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{20}{a^2}\right)\right] + 10 \cdot a \cdot \dfrac{a}{2}$

$C_t = 6 \cdot \left[2 \cdot \left(\dfrac{20}{a}\right) + 2 \cdot \left( \dfrac{10}{a}\right)\right] + 5 \cdot a^2$

$C_t = 6 \cdot \left[\left(\dfrac{40}{a}\right) + \left( \dfrac{20}{a}\right)\right] + 5 \cdot a^2$

$C_t = 6 \cdot \left[\dfrac{60}{a}\right] + 5 \cdot a^2$

$\boxed{C_t =\left[\dfrac{360}{a}\right] + 5 \cdot a^2}$