Question

Obtenha uma equação geral do plano π, que contém a interseção dos planos

$\pi_1:x+y-z=-1 \ e\ \pi _2:x-y+z=1,$ onde π é paralelo à reta $r:X=(1,2,2)+\alpha (1,0,2).$


Observação:$proj_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{u}.\vec{v}}{||\vec{u}||^2} \vec{u}.$

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Answer 1

A equação geral do plano π é 2x + y - z = -1.

Primeiramente, vamos determinar a interseção entre os planos x + y - z = -1 e x - y + z = 1.

Somando essas duas equações, obtemos:

2x = 0

x = 0.

Sendo assim:

y - z = -1

y = z - 1.

Ou seja, os pontos da reta são da forma (0, z - 1, z).

Considerando z = 1 e z = 2, obtemos os pontos A = (0,0,1) e B = (0,1,2).

Fazendo o vetor u = AB:

u = (0,1,2) - (0,0,1)

u = (0,1,1).

Portanto, as equações paramétricas da reta são:

{x = 0

{y = t

{z = 1 + t.

O vetor u é paralelo ao plano π. Além disso, como π é paralelo à reta r, então o vetor v = (1,0,2) também será paralelo a π.

Calculando o produto vetorial u x v, obtemos:

u x v = 2i + j - k

u x v = (2,1,-1).

Logo, o vetor normal do plano π é (2,1,-1) e a equação é da forma 2x + y - z = d.

Substituindo o ponto A:

2.0 + 0 - 1 = d

d = -1.

Portanto, a equação do plano π é 2x + y - z = -1.