Question

Os ornitologistas determinaram que algumas espécies de pássaros tendem a evitar voos sobre largas extensões de água durante o dia. Acredita-se que é necessária mais energia para voar sobre a água que a terra, pois o ar em geral sobe sobre a terra e desce sobre a água durante o dia. Um pássaro com essas tendências é solto de uma ilha que está a 5 km do ponto mais próximo B sobre uma praia reta, voa para um ponto C na praia e então voa ao longo da praia para a área D, seu ninho. Suponha que o pássaro instintivamente escolha um caminho que vai minimizar seu gasto de energia. Os pontos B e D distam 13 km um do outro. Em geral, se é preciso 1,4 vezes mais energia para voar sobre a água do que sobre a terra, para que ponto C o pássaro precisa voar para minimizar a energia total gasta no retorno ao ninho?

Answer 1

O ponto C se encontra a uma distância de 5,103 km aproximadamente do ponto B.

Sendo x a distância entre B e C, a distância que o pássaro voa sobre a água é a hipotenusa do triângulo ilha-BC, então:

d² = 5² + x²

d = √(25+x²)

A energia gasta é igual a distância multiplicada por 1,4:

d = 1,4.√(25+x²)  

A segunda parte é voada sobre a terra, então:

d = 13 - x

A energia total gasta pelo pássaro em função do ponto C é:

E(x) = 1,4.√(25+x²) + (13 - x)

Para encontrar a menor energia, devemos encontrar o ponto mínimo derivando a função e igualando a zero:

E'(x) = 1,4.x/√(25+x²) - 1

0 = 1,4.x/√(25+x²) - 1

1 = 1,4.x/√(25+x²)

Para que a fração seja igual a 1, temos que o numerador é igual ao denominador:

√(25+x²) = 1,4.x

25 + x² =  (1,4.x)²

25 + x² = 1,96.x²

25 = 0,96.x²

x = 5,103 km