Question

Resolva a equação logarítmica abaixo, determinando o valor de x:
log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1)​

Answer 1

Saudações!

Trata-se de um problema sobre equações logarítmicas. E, para resolvê-lo, teremos de seguir as seguintes instruções:

PRIMEIRO: Determinar o domínio da função.

Em termos gerais, o domínio de uma função qualquer, mas neste caso a logarítmica, significa a determinação os valores para os quais a função faz sentido, ou seja, onde a função é definida. É de suma importância a sua determinação.

Portanto:

x ∈ IR : 4x - 2 > 0 e 2x - 1 > 0

       ⇔ 4x > 2 e 2x > 1

       ⇔  x > 1/2 e x > 1/2

x ∈ ]1/2 ; +∞[ , é o domínio da função. Com isso, depreende-se que a nossa solução não deve ser um número inferior a 1/2.

SEGUNDO: Resolver a equação.

$log_{10}(4x-2) = log_{10}2 - log_{10}(2x-1)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente:

$lo_{10}(4x-2) = log_{10} (\frac{2}{2x-1})$

Igualaremos os logaritmandos, pois as bases dos logaritmos são iguais.

$4x-2=\frac{2}{2x-1}$

⇒ $(4x-2).(2x-1)=2$

⇒ $8x^{2} -4x-4x+2=2\\\\8x^{2} -8x+2-2=0\\\\8x^{2} -8x=0$

Pela Lei do Anulamento do Produto, teremos:

8x * (x-1) = 0

⇒ 8x=0 V x-1=0

⇒ x'=0 V x"=1

Temos como "raízes provisórias" 0 e 1. Agora, temos que recorrer ao domínio da função para filtrar a verdadeira raiz ou raízes da equação. Lembre que foi dito que a nossa raiz deve ser um número maior que 1/2, ou seja, não inferior a 1/2.

A primeira raiz, zero, não é maior que 1/2. Mas, 1 é maior que 1/2. Portanto, 1 é a raiz da equação.

Sol: {1}

Espero ter ajudado!