Question

11. Uma locadora de vídeo aluga 300 filmes por dia, cobrando R$ 6,00 por filme. O
proprietário observou que, reduzindo em R$ 0,50 o valor do aluguel, a locadora passaria
a alugar mais 60 filmes por dia. Supondo que a função de demanda é do primeiro grau,
determine:
a) a função de demanda;
b) quantos filmes devem se alugados para maximizar a receita;
c) que preço deve ser cobrado para maximizar a receita.​

Answer 1

A demanda D é escrita em função do preço, x:

$D(x) = A \cdot x + B$

Se cobrar R$ 6,00 por filme resulta em um aluguel de 300 filmes:

$300 = A \cdot 6 + B$

Isolando B:

$B = 300 - 6 \cdot A$

Se reduzir o preço em R$ 0,50, isto é, x = 5,5, passaria a alugar mais 60 filmes por dia, D = 360[/tex]

Teremos:

$360 = A \cdot 5,5 + B$

Isolando B:

$B = 360 - 5,5 \cdot A$

Igualando os B's das duas equações:

$300 - 6 \cdot A = 360 - 5,5 \cdot A$

Isolando A:

$(6-5,5) \cdot A = 300 - 360$

$0,5 \cdot A = - 60$

$A = - \dfrac{60}{0,5}$

$A = - 120$

Agora, substituindo A para encontrar B:

$B = 300 - 6 \cdot (-120)$

$B = 300 + 720$

$B = 1020$

a)

Assim, a função de demanda será:

$\boxed{D(x) = -120 \cdot x + 1020}$

*Vou calcular a c) primeiro por ser mais fácil.

c)

A receita é dada pelo produto entre Demanda (D) e preço (x):

$R(x) = D(x) \cdot x$

Substituindo D pela função de demanda:

$R(x) = (-120 \cdot x + 1020) \cdot x$

$R(x) = -120 \cdot x^2 + 1020 \cdot x$

Assim, como no outro exercício, a receita máxima é dada pelo vértice da parábola R(x):

$x_{v} = -\dfrac{b}{2 \cdot a}$

Substituindo b = 1020 e a = -120:

$x_{v} = -\dfrac{1020}{2 \cdot (-120)}$

$x_{v} = \dfrac{1020}{240}$

$\boxed{x_{v} = \text{R\ } 4,25}$

Esse é o preço a ser cobrado para a maior receita.

b)

Basta substituir o preço de R$ 4,25 na função da demanda D(x) e saberá qual a demanda máxima:

$D_{max} = -120 \cdot 4,25 + 1020$

$D_{max} = -120 \cdot 4,25 + 1020$

$\boxed{D_{max} = 510 \text{ filmes}}$