números complexos
1) sendo Z1= 2 - 3i, Z2= -4 + i Z3 = -4i + 2i
a) Z1+Z2
b)Z2-Z3
c)Z1+Z2-Z3
d)Z1 . Z2
e) Z3
______
Z2
f) Z2 . Z3
Respostas
Resposta
a) z1 + z2 = - 2 - 2 i
b) z2 - z3 = - 4 + 3 i
c ) z1 + z2 - z3 = - 2
d) z1 * z2 = - 5 + 14 i
e) z3 / z2 = - 2 / 17 + ( 8 / 17 ) i
f) z2 * z3 = 2 + 8 i
Explicação passo-a-passo:
z1 = 2 - 3 i
z2 = - 4 + i
z3 = - 4 i + 2 i = ( - 4 + 2 ) i = - 2 i
Para somar ou subtrair números Complexos , nesta forma, somamosas partes reais ( aquelas que não têm " i ").
Fazemos o mesmo aos coeficientes do termo com " i " .
Assim de modo geral:
a + b i + c + d i = ( a + c ) + ( b + d ) i
a) z1 + z2
( 2 - 3 i ) + ( - 4 + i ) = ( 2 - 4 ) + ( - 3 + 1 ) i = - 2 - 2 i
b) z2 - z3
( - 4 + i ) - ( 0 - 2 i ) = ( - 4 + i ) + ( 0 + 2 i ) = ( - 4 + 0 ) + ( 1 + 2 ) i = - 4 + 3i
c ) z1 + z2 - z3
( 2 - 3 i ) + ( - 4 + i ) - ( - 2 i ) = ( 2 - 3 i ) + ( - 4 + i ) + ( 0 + 2 i )
= ( 2 - 4 + 0 ) + ( - 3 + 1 + 2 ) i
= - 2 + 0 i = - 2
Nota : quando temos apenas " i " é como se estivesse escrito " 1 i "
d) z1 * z2
Embora exista uma fórmula para resolver a multiplicação de números complexos, prefiro explicar como fazer sem ter que memorizar mais uma fórmula.
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:
( 2 - 3 i ) * ( - 4 + i ) = 2 * ( - 4 ) + 2 * i + ( - 3 i * ( - 4) ) +( - 3i * i )
= - 8 + 2 i + 12 i - 3 i²
Nota : i = √( - 1 ) logo i² = ( √( - 1 ) )² = - 1
Retomando
- 8 + 2i + 12i - 3i² ( troquei a posição da parcela - 3i² . Fica agora em segundo lugar ( porque eu sei que vai dar um número real.
= - 8 - (3 * ( - 1 )) + 2i + 12i
= - 8 - ( - 3 ) + ( 2 + 12 ) i
= - 8 + ( + 3 ) + 14 i
= - 5 + 14 i
e) z3 / z2
Para dividir números complexos tem que ser introduzida a noção de Conjugado de um número Complexo.
z̅ diz-se conjugado de z = a + bi e escreve-se z̅ = a - bi
O que muda é o sinal da parte imaginária que fica o simétrico da original.
Para efetuar a divisão tem que se multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do número complexo do denominador
( - 2 i ) / ( - 4 + i )
= ( ( -2i ) * ( - 4 - i ) ) / ( ( - 4 + i ) * ( - 4 - i ))
É aplicar no numerador a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica.
No denominador temos um caso notável da multiplicação
( - 4 + i ) * ( - 4 - i ) = ( - 4 )² - i ² = 16 - ( - 1)
= 16 + ( + 1 ) = 17
Continuando
[ ( -2i ) * ( - 4 - i ) ] / [ ( - 4 + i ) * ( - 4 - i ) ]
= [( - 2i ) * ( - 4 ) + ( - 2i * ( - i )] / 17
= ( + 8i +2 i ²) / 17
= ( 8i - 2 ) 17
= (-2 + 8i ) / 17
= - 2 /17 + (8/ 17) i
f) z2 * z3
( - 4 + i ) * ( - 2 i ) = ( - 4 * ( - 2i ) ) + i * ( - 2 i )
= + 8i -2i² = 8i - 2 * ( - 1 )
= 8i + 2
= 2 + 8i
Sinais : ( * ) multiplicação ( / ) divisão ( ⇔ ) equivalente a
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.