Question

Calcule a integral usando integração por frações parciais:

a)∫$\frac{-3x^2+x+5}{x^3-2x^2+x}dx$

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$\frac{-3x^2+x+6}{x^3-2x^2+x}=\frac{-3x^2+x+5}{x(x^2-2x+1)}=\frac{-3x^2+x+5}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x-1}=\frac{A(x-1)^2+Bx+Cx(x-1)}{x(x-1)^2}\\\\\frac{-3x^2+x+5}{x^3-2x^2+x}=\frac{A(x-1)^2+Bx+Cx(x-1)}{(x-1)^2}\\\\-3x^2+x+5=A(x-1)^2+Bx+Cx(x-1)$

Vamos atribuir valores convenientes a x e determinar A, B e C.

p/x = 1 ⇒ -3.1² + 1 + 5 = A(1 - 1)² + B.1 + C.1(1 - 1) ⇒ 3 = A.0 + B C.1.0 ⇒ B = 3

p/x = 0 ⇒ -3.0² + 0 + 5 = A(0-1)² + B.0 + C.0.(x - 1) ⇒ 5 = A + 0 + 0 ⇒ A = 5

p/x = -1 ⇒ -3(-1)² - 1 + 5 = A(-1 -1)² + B(-1) + C(-1)(-1 - 1)

-3.1 - 1 + 5 = 4A - B + 2C ⇒ 1 = 4.5 - 3 + 2C ⇒ 1 = 17 +2C ⇒ 2C = - 16 ⇒ C = - 8

$\int\limits_ {}\frac{-3x^2+x+5}{x^3-2x^2+x}\,dx=\int\limits {}(\frac{5}{x}+\frac{3}{(x-1)^2}-\frac{8}{x-1})\,dx=\int\limits {}(\frac{5}{x}+3(x-1)^{-2}-\frac{8}{x-1})\,dx =5ln|x|+3\int\limits {}(x-1)^{-2}-8ln|x-1)\,dx=5ln|x|+3*\frac{(x-1)^{-1}}{-1}-8ln|x-1|+c=5ln|x| -\frac{3}{x-1}-8ln|x-1|+c$