Question

Considere a função
.
Seja ainda f’(x) a sua derivada dentro das condições de existência. Desta forma analise os itens abaixo.

I. Temos f’(2) = f’(4)
II. f’(x) > 0 para todo valor de x.
III. f’(x) é uma parábola.
IV. f’(x) > f(x) para qualquer x em seu domínio.

É correto o que se afirma em:

Answer 1

Podemos responder claramente que a opção I - é a única verdadeira, enquanto as opções II, III e IV são falsas.

Vamos aos dados/resoluções;

F(x) = 2/x-3 = 2(x - 3)^-1.

Tendo em mente que ax^n = anx^n-1 e se chamarmos (x-3) de u, teremos ;

F(u) = 2u^-1

u = x - 3

du/dx = 1

du = dx, logo ;  

df (u)/du = -2u^-2

u = x-3

df (x) / dx = -2 (x - 3)^-2

f' (x) = -x (x-3)^-2

Verificando então, podemos perceber que:  

I.

F' (2) - 2 (2 - 3)^-2 = -2 (-1)^-2 = -2/(-1)^2 = -2/1 = -2.

F'(4) = -2 (4 - 3)^-2 = -2 (1)^-2 = -2/1² = -2

Logo f' (2) = f' (4), portanto, verdadeiro.

II.

Como vimos no exercício I, f'(2) e f'(4) = -2, -2 < 0, logo a afirmativa  f'(x) > 0 é falsa.

III.

Parábolas são funções do tipo ax² + bx + c e como nossa função é da família das x^-2, f' (x) não é uma parábola.  

e finalizando com IV ;  

Se f'(x) for maior para todo x que f(x), g(x)=f'(x)/f(x) deverá ser maior ou igual a 1 para todo o x , portanto;

g (x) = f'(x)/f(x) = 2(x - 3)^-2 / 2 (x-3)^-1 = 2(x-3)/2 (x-3)² = 1/x-3

Observando g(x), notamos que, quando x tende a mais ou menos infinito, g(x) tende a 0, dessa forma g(x) não é maior ou igual a 1 para todo o x e com isso f'(x) não é maior que f(x) para todo o x, logo, IV é Falsa.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)