Question

é sobre PG finita
1- calcule a soma dos 20 primeiros termos da PG (-5,-5,-5,-5,-5)
2-determine a soma dos 10 primeiros termos da pg (1000,100,10)

Answer 1

Resposta:

1) -100

2) (10^9 - 1)/900000

Explicação passo-a-passo:

1-

É fácil ver que a soma= 20.(-5)= -100, porém vamos usar a fórmula da PG para comprovar:

Seja a PG (-5,-5,-5,-5,-5,...), onde:

a1= -5

q= 1 (pois -5/-5 = -5/-5 =... =1)

Logo, a soma dos n primeiros termos de uma PG é dado pela fórmula:

Sn= a1. (q^n - 1)/(q - 1)

Sn= (-5).(q^20 - 1)/(q - 1)

Como podemos ver aqui, para q=1 teremos uma I determinação 0/0.

Essa fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita é válida para q<>1, mas podemos utilizá-la usando limites:

Sn= lim (-5).(q^20 - 1)/(q - 1)

q->1

Sn= (-5). lim (q^20 - 1)/(q - 1)

q->1

Fazendo u(q) = q^20 - 1, e v(q) = q - 1, aplicando a Regra de L'Hopital temos que:

lim u(q)/v(q) = lim u'(q)/v'(q)

q->1 q->1

.... nos casos de indeterminação como 0/0 ou inf./inf.

Logo, sendo u'(q)= 20.q^19, e v'(q)= 1, temos que:

Sn= (-5). lim (q^20 - 1)/(q - 1) =

q->1

Sn= (-5). lim u(q)/v(q) =

q->1

Sn= (-5). lim u'(q)/v'(q) =

q->1

Sn= (-5). lim 20.q^19 / 1 =

q->1

Sn= (-5). 20.(1)^19 / 1 =

Sn= (-5). 20. 1 =

Sn= -100 (c.q.d.)

2-

Para a PG (1000,100,10,...) temos que:

a1= 1000

q= 1/10

n= 10

Logo:

Sn= a1. (q^n - 1)/(q - 1)

Sn= 1000.((1/10)^10 - 1)/(1/10 - 1)

Sn= 1000.(10^-10 - 1)/((1 - 10)/10)

Sn= 1000.(10^-10 - 1)/(-9/10)

Sn= 1000.(1 - 10^-10)/(9/10)

Sn= 1000.(1 - 10^-10).10/9

Sn= 1000.(10 - 10^-9)/9

Sn= (10^3).(10 - 10^-9)/9

Sn= (10^4 - 10^-5)/9

Sn= (10^4 - 1/(10^5))/9

Sn= (10^9 - 1)/900000

Blz?

Abs :)