Question

Determine o gradiente da função f (x,y) = x³ - 2x²y + xy² - 2y³ + 1 no ponto ( 1,0 ) por favor me ajudem, preciso urgente do calculo por completo. para anexar ao meu trabalho.

Answer 1

$\boxed{f(x,y)=x^3-2x^2y+xy^2-2y^3+1}$

o gradiente da função é 

$\boxed{\boxed{\nabla f= \frac{\partial f}{\partial x} ; \frac{\partial f}{\partial y}; \frac{\partial f}{\partial z} }}$

calculando as derivadas parciais

em relação ao x 

$\frac{\partial f}{\partial x} =3x^{3-1}-2*2x^{2-1}y+x^{1-1}y^2-0+0\\\\\boxed{ \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-4xy+y^2 }$

no ponto (1,0)

$\frac{\partial f(1,0)}{\partial x}=3*(1)^2-4*(1)*(0)+(0)^2 } = 3$


em relação ao y 

$\frac{\partial f}{\partial y} =x^3-2x^2y+xy^2-2y^3+1\\\\ \frac{\partial f}{\partial y} =0-2x^2y^{1-1}+x*2y^{2-1}-2*3y^{3-1}+0\\\\ \boxed{\frac{\partial f}{\partial y} =-2x^2+2xy-6y^2}$


no ponto (1,0)
$\frac{\partial f(1,0)}{\partial y} =-2*(1)^2+2*(1)*(0)-6*(0)^2 = -2$

logo o gradiente da função no ponto será
$\nabla f(1,0)= \frac{\partial f(1,0)}{\partial x};\frac{\partial f(1,0)}{\partial y} \\\\\\\boxed{\boxed{\nabla f(1,0)=(3;-2)}}$