Question

Por favor, me ajudem, Matrizes!
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Answer 1

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\1&3&2\end{array}\right] *X= \left[\begin{array}{c}3&8&11\\\end{array}\right]$


 "Explicação":

Mas o que se deve fazer primeiro nesse tipo de questão? A primeira coisa a saber é: a questão quer uma matriz X que, quando é multiplicada pela matriz de ordem  3 x 3, resulte na matriz 3 x 1 que há ali. 
 

O primeiro passo para dar entrada no cálculo é determinar o tipo da matriz X. 
Antes, releia algo que já coloquei em uma resposta para você:



 Em multiplicação de matriz, só haverá resultado se o número de colunas da primeira matriz - que chamarei de A -, for igual ao número de linhas da segunda matriz - que chamarei de B. Exemplo: matriz A =2x2, matriz B=2x2 . Nesse caso, é possível uma matriz AB, pois atende ao pedido: números de colunas da A é igual ao número de linhas B (pus em negrito a coluna de A e as linhas de B). E ainda seguindo esse exemplo, sei que a matriz AB é do tipo 2x2, ou seja, tem 2 linhas e duas colunas.



Observou o que eu quis mostrar? Se não, vamos: a matriz quadrada de ordem 3 está multiplicando a matriz X. Lembra o que o texto acima disse? “Só haverá resultado se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz”. E essa é uma das pistas para descobrir o tipo da matriz X. Se a matriz de ordem 3 é 3 x 3 – três linhas e três colunas -, a matriz X terá três linhas, pois esse é o único modo de haver multiplicação entre essas duas matrizes. E ela terá uma coluna. 

Observe:   

Matriz A             *         Matriz X            =   Matriz B
 3 X 3                           3 X 1                     3 X 1

Veja a relação que fiz: eu descobri o tipo da matriz X com base nesse raciocínio acima. Se o número de colunas da primeira matriz tem de ser igual ao número de linhas da segunda, eu soube que a matriz X teria três linhas. E com base na matriz B eu soube o número de colunas da matriz X. Veja mais em cima.

Agora que sei que a matriz X é do tipo 3 X 1, posso representá-la. Mas como não sei, ainda, os valores que a compõem, farei assim:

$X= \left[\begin{array}{c}a&b&c\\\end{array}\right]$

Com base nisso aí, farei os cálculos normalmente. Multiplicarei a matriz quadrada de ordem 3 com essa matriz X acima.

Obs: quando digo que uma matriz é quadrada, estou afirmando o seguinte: que ela possui o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Veja que a primeira matriz na questão tem três linhas e três colunas, e por isso ela é quadrada de ordem três. Assim como se uma matriz tiver quatro linhas e quatro colunas, ela será uma matriz quadrada de ordem 4. E do mesmo jeito se tiver cinco linhas e cinco colunas, ela será uma matriz quadrada de ordem 5. E assim prossegue - de ordem 6, ordem 7, etc.    



Cálculo:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\1&3&2\end{array}\right] *X= \left[\begin{array}{c}3&8&11\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\1&3&2\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}a&b&c\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}3&8&11\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{c}1*a+0*a+0*c&2*a+1*b+0*c&1*a+3*b+2*c\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}3&8&11\\\end{array}\right]$


$\left[\begin{array}{c}a+0+0&2a+b+0&a+3b+2c\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}3&8&11\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{c}a&2a+b&a+3b+2c\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}3&8&11\\\end{array}\right]$   


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Explicação que não entra no cálculo:

Você já deve ter estudado igualdade de matrizes: é basicamente quando duas matrizes  possuem os mesmos elementos nas mesmas ordens. Ou seja, há elementos correspondentes.
Exemplo: 
 $\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]$

Veja que essas duas matrizes são iguais, logo, a igualdade delas é verdadeira. Saiba que só poderei fazer igualdade de matrizes, se as matrizes que estão sendo postas à prova forem do mesmo tipo - ou seja, tenham o mesmo número de linhas e o mesmo  número de colunas. Essas duas matrizes do exemplo são quadradas de ordem 3.

Outro exemplo:
$\left[\begin{array}{cc}2&7\\4&5\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}z&y\\s&d\\\end{array}\right] \\ \\ Sei\ \ que: \boxed{\\ z=2,\ \ y=7,\ \ s=4,\ \ d=5}$

Entendeu a ideia de igualdade de matrizes?


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Continuação do cálculo:

$\left[\begin{array}{c}a&2a+b&a+3b+2c\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}3&8&11\\\end{array}\right] \\\\\\ \boxed{a=3}$

Usando a ideia de igualdade de matrizes, eu descobri que a=3. Pois se lembre que, assim como as matrizes são de mesma ordem, os elementos que representam a igualdade pertencem às mesmas linhas e colunas. Para descobrir quanto vale "b", substituirei o "a", que eu já sei o valor.

$2a+b=8 \\ 2*3+b=8 \\ 6+b=8 \\ b=8-6 \\ \boxed{b=2}$

Agora que sei o valor de "a" e de "b", substituirei em:

$a+3b+2c=11 \\ 3+3*2+2c=11 \\ 3+6+2c=11 \\ 9+2c=11 \\ 2c=11-9 \\ 2c=2 \\ c= \frac{2}{2} \\ \boxed{c=1}$


Com isso tudo feito e escrito, sei:

$\boxed{\boxed{X= \left[\begin{array}{c}3&2&1\\\end{array}\right] }}$