Question

(VALENDO 55 PONTOS) Usando o Teorema de Fermat encontre o resto da divisão de 2^2019 por 7

Answer 1

Resposta:o resto da divisão é 1

Explicação passo-a-passo:

N≡ 2^{2017}(mod7)

como p não divide a então pelo teorema de Fermat a^(p-1)≡1(modp)

Então: 2019÷6 = 6x339+3.

Dai reescrevemos 2019 como 6x339+3.

N≡2^6x339x3(mod7) Usando as propriedades de potencia reescrevemos

N≡(2^6)^339 x2^3(mod7)

como a^p-1= 1(mod)

N≡(1)^339 x2^3(mod7)

N≡8(mod7)

O resto é 1.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Pelo Pequeno Teorema de Fermat:

$\sf 2^6\equiv1\pmod{7}$

Assim:

$\sf 2^{2019}\equiv2^{2016}\cdot2^3\pmod{7}$

$\sf 2^{2019}\equiv(2^6)^{336}\cdot2^3\pmod{7}$

$\sf 2^{2019}\equiv1^{336}\cdot2^3\pmod{7}$

$\sf 2^{2019}\equiv1\cdot8\pmod{7}$

$\sf 2^{2019}\equiv8\pmod{7}$

$\sf 2^{2019}\equiv1\pmod{7}$

O resto é 1