Question

A dilatação do tempo é uma das consequências dos postulados de Einstein. Em uma situação onde o tempo medido fora de uma espaçonave é 20 min e dentro da espaçonave é medido 10 min, qual a porcentagem da velocidade da luz a espaçonave deve ter? Considere que a raiz de três seja igual 1,73.

Answer 1

A espaçonave viajou com 86,5% da velocidade da luz.

A dilatação temporal, proveniente da teoria da relatividade especial, possui a seguinte fórmula matemática:

$\Delta t' = \Delta t\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} }$

, onde Δt' equivale ao tempo medido na nave, Δt o tempo medido fora da nave, v a velocidade que a nave se move (em relação ao referencial que está fora dela) e c a velocidade da luz.

Podemos substituir os valores fornecidos diretamente nessa fórmula já que os intervalos de tempo estão na mesma unidade (minutos):

$10 = 20*\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } \\\\0,5 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} }\\\\\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } = 0,5$

Elevando ambos ao quadrado:

$(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} })^2 = 0,5^2\\\\1 - \frac{v^2}{c^2} = 0,25\\\\\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0,25 = 0,75\\\\v^2 = 0,75c^2$

Tirando a raiz quadrada em ambos os lados:

$\sqrt{v^2} = \sqrt{0,75c^2} \\\\v = c\sqrt{0,75} = c\sqrt{75/100} = c\sqrt{3/4} = c\sqrt{3} /\sqrt{4} = c*1,73/2 = 0,865c$

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