Na figura abaixo, está representado um quadrado de vértices ABCD. Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são A = (0,0) e B = (3,4). Diante do conhecimento adquirido na disciplina de Geometria Analítica, responda as seguintes questões:
• Quais são as coordenadas dos vértices C e D do quadrado ABCD?
• Qual é a equação da circunferência inscrita ao quadrado ABCD?
• Qual é a equação da circunferência circunscrita ao quadrado ABCD?
Após realizar suas reflexões, elabore um pequeno texto (no máximo 30 linhas) expondo sua argumentação acerca do solicitado. Os critérios avaliativos e níveis de conquista para a Atividade Contextualizada já estão disponíveis na Rubrica de Avaliação.
Respostas
Os vértices C e D são, respectivamente, (-1,7) e (-4,3); A equação da circunferência inscrita é (x + 1)² + (y - 7)² = 25/4; A equação da circunferência circunscrita é (x + 1)² + (y - 7)² = 50/4.
Primeiramente, vamos calcular a medida do lado do quadrado.
Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos:
l² = (3 - 0)² + (4 - 0)²
l² = 3² + 4²
l² = 9 + 16
l² = 25
l = 5.
A diagonal do quadrado mede 5√2, ou seja, a distância entre B e D é igual a 5√2:
(5√2)² = (3 - a)² + (4 - b)²
50 = (3 - a)² + (4 - b)²
Além disso, temos que:
5² = (a - 0)² + (b - 0)²
25 = a² + b².
Podemos concluir que a = -4 e b = 3.
Portanto, o ponto D é igual a D = (-4,3).
O ponto médio da diagonal BD é igual a:
2M = B + D
2M = (3,4) + (-4,3)
2M = (3 - 4, 4 + 3)
2M = (-1,7)
M = (-1/2, 7/2).
Logo, o ponto C é igual a:
(-1,7) = C + A
(-1,7) = C + (0,0)
C = (-1,7).
Uma circunferência inscrita ao quadrado possui diâmetro igual ao lado do quadrado e centro no ponto médio da diagonal.
Como o lado do quadrado mede 5, então o raio mede 5/2.
Portanto, a equação da circunferência inscrita é:
(x + 1)² + (y - 7)² = 25/4.
A circunferência circunscrita possui diâmetro igual a medida da diagonal. Como a diagonal mede 5√2, então o raio mede 5√2/2.
Portanto, a equação da circunferência é:
(x + 1)² + (y - 7)² = 50/4.
