Question

Em cada item, determine os valores de m e n para f seja divisível por g. A) f(x)= -x^3+mx^2+nx e g(x)= x^2-4x+1 B) f(x)= 2x^3+mx^2+nx e g(x)= x^2+x-3

Answer 1

Os valores de m e n para f seja divisível por g são: a) 4 e -1; b) 2 e -6.

a)  Dividindo -x³ por x², obtemos -x.

Multiplicando -x por x² - 4x + 1, temos -x³ + 4x² - x.

Logo, -x³ + mx² + nx - (-x³ + 4x² - x) = x²(m - 4) + x(n + 1).

Dividindo x²(m - 4) por x², obtemos m - 4.

Multiplicando m - 4 por x² - 4x + 1, temos x²(m - 4) - 4x(m - 4) + (m - 4).

Logo, x²(m - 4) + x(n + 1) - (x²(m - 4) - 4x(m - 4) + (m - 4)) = x(n + 1) + 4x(m - 4) - (m - 4).

O resto da divisão é xn + x + 4xm - 16x - m + 4.

Como queremos que f seja divisível por g, então o resto tem que ser igual a zero.

Portanto: x(n + 4m - 15) + (4 - m) = 0

Daí, temos duas equações:

{n + 4m - 15 = 0

{4 - m = 0

Como m = 4, então:

n + 4.4 - 15 = 0

n + 16 - 15 = 0

n + 1 = 0

n = -1.

b) Dividindo 2x³ por x², obtemos 2x.

Multiplicando 2x por x² + x - 3, temos 2x³ + 2x² - 6x.

Logo, 2x³ + mx² + nx - (2x³ + 2x² - 6x) = x²(m - 2) + x(n + 6).

Dividindo x²(m - 2) por x², obtemos m - 2.

Multiplicando m - 2 por x² + x - 3, temos x²(m - 2) + x(m - 2) - 3(m - 2).

Logo, x²(m - 2) + x(n + 6) - (x²(m - 2) + x(m - 2) - 3(m - 2)) = x(n + 6) - x(m - 2) + 3(m - 2).

Igualando o resto a zero:

xn + 6x - xm + 2x + 3m - 6 = 0

x(n + 6 - m + 2) + (3m - 6) = 0

x(n - m + 8) + (3m - 6) = 0

Temos as duas equações:

{n - m + 8 = 0

{3m - 6 = 0.

Logo, m = 2 e n = -6.