Question

2) A energia efetivamente gasta no movimento pode ser representada pela área entre as curvas da potência fornecida e da potência regenerada. Desta forma, calcule a energia efetivamente consumida no intervalo dado PotF(t)=2 ln(t+1)+4 PotR(t)=1/e^t+3
intervalo de 0 a 15 segundos x=15

Answer 1

Utilizando o conceito de integral de uma função, do Cálculo Diferencial e Integral, tem-se que a energia efetiva consumida é E=72,73 J.

Pelo estudo do Cálculo Diferencial e Integral, tem-se que a Integral entre dois pontos a e b é tida como a área da função nesse intervalo [a,b] (ver figura 1 em anexo).  

Como o enunciado descreve a energia efetiva consumida como a área entre as curvas das funções PotF(t) e PotR(t). Com auxílio de um software, é preciso encontrar onde essas funções se interceptam em t, e a integral será da função "de cima" menos a função "de baixo" (figura 2 em anexo):

$E=\int_{0}^{15} {[2*ln(t+1)+4}] - [e^{-t}+3]\ dt\\\\E=\int_{0}^{15} {2*ln(t+1)}- e^{-t}+1\ dt\\\\E=2\pmb{\int_{0}^{15} {ln(t+1) \ dt}} - \pmb{\int_{0}^{15} e^{-t} \ dt} + 1\pmb{\int_{0}^{15}{dt}}\\\\E= 2\pmb{A} - \pmb{B} + \pmb{C}$ (i)

Integrando A (trata-se de uma integral por partes):

$A=\int ln(u) \ du\\\\\\\pmb{\int fg'}=fg-\int f'g\\\\\\f=ln(u) \ \therefore{} f'=\frac{1}{u}\\g'=1 \ \therefore{} g=u\\\\\\\int ln(u) \ du = u*ln(u)-\int 1 \ du \\\int ln(u) \ du = u*ln(u) - u\\\\\A=\int ln (t+1) \ dt = \pmb{(t+1)ln(t+1)-t-1}$

Integrando B (trata-se de uma integral por substituição):

$B= \int e^{-u} \ du\\\\u=-t \ \therefore{} \frac{du}{dt}=-1 \ \therefore{} \ dt=-du\\\\\int e^{-u} = -e^{u} \\\\\\B=\int e^{-t}=\pmb{-e^{-t}}$

Integrando C (trata-se de uma integral simples):

$C=\int dt\\\\C= \pmb{t}$

Substituindo A, B e C em (i):

$=& 2A-B+C\\\\=& 2*((t+1)ln(t+1)-t-1)-(-e^{-t})+t\\\\=& 2t*ln(t+1)+2*ln(t+1)-t+\frac{1}{e^{t}} |^{15}_{0}\\\\=& 2*(16)ln(16)-(15)+\frac{1}{e^{15}}-2*ln(1)-\frac{1}{e^{0}}\\\\=& 32*ln(16)-16+\frac{1}{e^{15}}\\\\=& 72,73\\\\\\\pmb{E= 72,73 \ J}$

Segue outro exemplo envolvendo Integral: https://brainly.com.br/tarefa/23871971